Logaritmo

O que é Logaritmo

Logaritmo é uma ferramenta matemática utilizada para tornar operações mais simples.

Definição: Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que b^x = a.

log ₂ 16 = x , é o expoente x tal que 2^x = 16

2^x = 2⁴    :. x = 4

Desse modo, log ₂ 16 = 4.

O inventor do logaritmo foi John Napier, que durante o século XVII trabalhou muito para que se encontrasse os logaritmos. Juntamente com Napier, Henry Briggs também se dedicou aos estudos sobre o assunto e junto criaram a tábua de logaritmos. Na época que estudaram essa importante ferramenta do cálculo não haviam calculadoras, e então essa tábua criada por eles são exatamente os logaritmos que utilizamos hoje em dia.

Consequências da Definição

Como consequências da definição de logaritmo, temos as seguintes propriedades:

1) O logaritmo da base, em qualquer base, é igual a 1.

log _a a = 1

2) O logaritmo da unidade, em qualquer base, é igual a 0.

log _a 1 = 0

3) A potência de base a e expoente log _a b é igual a b.

a ^{log _a b} = b

4) Dois logaritmos em uma mesma base são iguais, se, e somente se, os logaritmos são iguais.

 log _a b =  log _a c ⇔ b = c

Outras Definições

Logaritmo Natural ou Neperiano:

log _e a  ou  ln a

Logaritmo Decimal: É aquele cujo a base é 10, e é representado por:

log a

Cologaritmo: É aquele oposto ao log ou o log do inverso do logaritmando.

colog _b a = – log _b a         colog _b a = log _b 1/a

Antilogaritmo: O antilogaritmo de x na base b, o número a, ou seja, o logaritmando.

log _b a = x ⇔ a = antilog _b x

Propriedades dos Logaritmos

1) log _b b = 1

2) log _b 1 = 0

3) log _b a^y = y log _b a

4) log _b b^x = x

5) b ^{log _b a} = a

6) log _b ac = log _b a + log _b c

7) log _b a/c = log _b a – log _b c

8) Propriedade de Mudança de Base:

log _b a = log _k a / log _k b

para qualquer k ∈ |R *₊, k ≠ 1.

Exemplos e Exercícios

1) Calcule pela definição log ₄ 16.

Resolução:

log ₄ 16 = x
4^x = 16 → 4^x = 4² → x = 2 → :. log ₄ 16 = 2.

2) Calcule pela definição log _0,25 32

Resolução:

log _0,25 32 = x
0,25^x = 32
(¼)^x = 32
(1/2²)^x = 2⁵
(2^-2)^x = 2⁵
-2x = 5
x = -5/2    → :.  log _0,25 32 = -5/2.

3) Calcule pela definição log ₃ 1/9

Resolução:

log ₃ 1/9 = x
3^x = 1/9
3^x = 1/3²
3^x = 3^-2
x = -2  → :. log ₃ 1/9 = -2.

4) Calcule log ₃ 5 transformado para a base 2.

Resolução:

log ₃ 5 = log ₂ 5 / log ₂ 3

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