Geratriz de uma Dízima Periódica

Um número decimal é um número racional caracterizado por ter um ponto (números que são repetidos indefinidamente) na sua expansão decimal. Este período pode ser constituído por uma ou mais figuras, como estas:

O período pode ser expresso por  um arco acima das figuras utilizadas, por exemplo:

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

Seja S a dízima periódica 0,3333333…, isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

S = 0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+…

Multiplicando esta soma “infinita” por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:

10 S = 3 + 0,3+0,03+0,003+0,0003+…

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

10 S – S = 3

donde segue que

9 S = 3

Simplificando, obtemos:

S = 1

3

= 0,33333… = 0,3

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:

0,99999… = 0,9 = 1

Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131…, isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

T =0,31+0,0031+0,000031+…

Multiplicando esta soma “infinita” por 102=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:

100 T = 31 + 0,31+0,0031+0,000031+…

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

100 T – T = 31

donde segue que

99 T = 31

e simplificando, temos que

S = 31

99

= 0,31313131… = 0,31

Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888…, isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

R = 7,1 + 0,08+0,008+0,0008+…

Manipule a soma “infinita” como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

R-7,1 = 0,08+0,008+0,0008+…

Multiplique agora a soma “infinita” por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

10(R-7,1) = 0,8 + 0,08+0,008+0,0008+…

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

10(R-7,1) – (R-7,1) = 0,8

Assim:

10R – 71 – R + 7,1 = 0,8

Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

90 R = 647

Obtemos então:

R = 647

90

= 7,1888… = 7,18

Um quarto tipo de dízima periódica é

T=7,004004004…, isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

U = 7 + 0,004+0,004004+0,004004004+…

Manipule a soma “infinita” como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

U-7 = 0,004+0,004004+0,004004004+…

Multiplique agora a soma “infinita” por 103=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:

1000(U-7) = 4 + 0,004+0,004004+0,004004004+…

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

1000(U-7) – (U-7) = 4

Assim:

1000U – 7000 – U + 7 = 4

Obtemos então

999 U = 6997

que pode ser escrita na forma:

U = 6997

999

= 7,004004… = 7,004

Fonte: www.coladaweb.com