Dízima periódica

Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

  Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

Parte não periódica: 0 Período não periódica: 15 Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma  , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

Uma dízima periódica é um número real da forma:

m,npppp…

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: … após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum vermos: uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses. Para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado, pois a linguagem HTML não possui símbolos especiais para colocarmos a barra sobre o período.

Exemplos: Dízimas periódicas

0,3333333… = 0,3

1,6666666… = 1,6

12,121212… = 12,12

0,9999999… = 0,9

7,1333333… = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período.

Exemplos: Dízimas periódicas simples.

0,333333… = 0,(3) = 0,3

3,636363… = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período.

Exemplos: Dízimas periódicas compostas.

0,83333333… = 0,83

0,72535353… = 0,7253

Observação: Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais.

Exemplos:

0,3333… = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

0,8333… = 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

4,7855… = 4,0 + 0,70 + 0,080 + 0,005 + 0,0005 + …

A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na seqüência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na seqüência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.

A geratriz de uma dízima periódica

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

Seja S a dízima periódica 0,3333333…, isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

S = 0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+…

Multiplicando esta soma “infinita” por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:

10 S = 3 + 0,3+0,03+0,003+0,0003+…

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

10 S – S = 3

donde segue que

9 S = 3

Simplificando, obtemos:

S = 1

3

= 0,33333… = 0,3

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:

0,99999… = 0,9 = 1

Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131…, isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

T =0,31+0,0031+0,000031+…

Multiplicando esta soma “infinita” por 102=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:

100 T = 31 + 0,31+0,0031+0,000031+…

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

100 T – T = 31

donde segue que

99 T = 31

e simplificando, temos que

S = 31

99

= 0,31313131… = 0,31

Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888…, isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

R = 7,1 + 0,08+0,008+0,0008+…

Manipule a soma “infinita” como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

R-7,1 = 0,08+0,008+0,0008+…

Multiplique agora a soma “infinita” por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

10(R-7,1) = 0,8 + 0,08+0,008+0,0008+…

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

10(R-7,1) – (R-7,1) = 0,8

Assim:

10R – 71 – R + 7,1 = 0,8

Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

90 R = 647

Obtemos então:

R = 647

90

= 7,1888… = 7,18

Um quarto tipo de dízima periódica é

T=7,004004004…, isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

U = 7 + 0,004+0,004004+0,004004004+…

Manipule a soma “infinita” como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

U-7 = 0,004+0,004004+0,004004004+…

Multiplique agora a soma “infinita” por 103=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:

1000(U-7) = 4 + 0,004+0,004004+0,004004004+…

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

1000(U-7) – (U-7) = 4

Assim:

1000U – 7000 – U + 7 = 4

Obtemos então

999 U = 6997

que pode ser escrita na forma:

U = 6997

999

= 7,004004… = 7,004

Fonte: www.somatematica.com.br/www.coladaweb.com