Lentes Delgadas

Uma lente é um objeto transparente que refrata os raios luminosos duas vezes, uma ao atravessar a lente e outra ao sair. Isto significa que dependendo do tipo de lente, o comportamento dos raios luminosos que refratarem nela será diferente. As lentes que iremos estudar são esféricas e, portanto, possuem algumas semelhanças com os espelhos côncavos e convexos (comportamento dos raios, fórmulas, etc.), mas a diferença agora é que os raios luminosos irão sempre refratar, pelo fato da lente ser transparente.

Assim, vamos definir inicialmente, dois tipos de lentes quanto ao comportamento dos raios luminosos:

Lentes convergentes: São aquelas cujos raios que incidem paralelamente ao eixo central se aproximam deste ao refratar;

Lentes divergentes: São aquelas cujos raios que incidem paralelamente ao eixo central se afastam deste ao refratar.

Independente do tipo de lente acima citado, trabalharemos sempre com lentes delgadas, ou seja, lentes nas quais as distâncias do objeto, imagem e raios de curvatura sejam muito maiores que a espessura da lente. A figura a seguir ilustra os dois tipos de lente anteriormente explicados:

Figura 1 –  Lente Convergente

Figura 2 – Lente Divergente

A Figura 1 representa uma lente convergente, repare que os raios incidentes, paralelos ao eixo central, se desviam para o foco da lente após refratar. Na Figura 2, os raios refratados se afastam do eixo principal, evidenciando que esta é uma lente divergente. Repare que a direção de afastamento dos raios luminosos é o prolongamento do foco  da lente.

Independente do tipo de lente todas possuem algumas características em comum, que inclusive são observáveis em ambas as figuras apresentadas anteriormente. São essas características:

C₁ e C₂: Centros de curvatura das faces esféricas;
r₁ e r₂: Raios de curvatura das faces;
f₁ e f₂: são os focos imagem/objeto real/virtual da lente, equidistantes do vértice.

Vale ressaltar que as lentes convergentes (Figura 1) possuem foco imagem real à direita e foco objeto real à esquerda da lente. Para lentes divergentes, terão um foco imagem virtual à direita e foco objeto virtual à esquerda.

Imagens produzidas por lentes

Para qualquer caso estudado, as lentes convergentes podem formar tanto imagens virtuais, como imagens reais. Ao contrário, as lentes divergentes só formam imagens virtuais. Além disso, sempre consideraremos as imagens produzidas do mesmo lado que o objeto como virtuais e as imagens reais do lado oposto (esta relação é inversa aos espelhos esféricos).

Além disso, temos três equações principais que serão utilizadas no estudo de lentes:

A equação (1) é idêntica à utilizada em espelhos esféricos, onde:

f é a distância focal da lente;
p é a distância do objeto até a lente;
p’ é a distância da imagem formada até a lente.

A equação (2) é a equação do fabricante de lentes e é válida para lentes imersas no ar, onde:

n é o índice de refração da lente;
r₁ é o raio de curvatura da lente mais próximo do objeto;
r₂ é o raio de curvatura da outra superfície da lente.

A equação (3) é a equação do Aumento Linear Transversal, também utilizada em espelhos esféricos, onde:

y’ é a altura da imagem;
y é a altura do objeto.

Localizando imagens produzidas por lentes

Além dos recursos matemáticos que temos para descobrir a posição da imagem, podemos também traçar os raios luminosos que partem de um determinado objeto e então localizar a imagem formada. Para isso, precisamos ter conhecimento de três raios especiais, conforme ilustra a imagem a seguir:

Figura 3 – Lente Convergente

Figura 4 – Lente Divergente

O raio A é aquele que incide paralelo ao eixo central e após refratar, passa pelo foco f₂ da lente.

O raio B é aquele que passa pelo centro da lente e a atravessa sem alterar sua direção.

O raio C é aquele que passa pelo foco  da lente e ao refratar, seguirá uma trajetória paralela ao eixo principal.

Todos estes raios sempre se comportarão deste jeito, entretanto, vale lembrar que para lentes divergentes será preciso fazer o prolongamento destes raios, como ilustra a Figura 4. O mesmo vale para as lentes convergentes quando o objeto estiver para frente do foco. Em cima disto, para qualquer situação, 2 raios sempre serão suficientes para localizar a imagem. A partir do ponto de intersecção entre esses 2 raios basta desenhar a imagem em direção ao eixo principal.

Associação de lentes esféricas

É possível associar duas ou mais lentes coaxialmente (seus eixos principais coincidem). Em uma primeira análise o estudo destas associações de lentes pode parecer complexo, mas na verdade é bem simples. Temos duas possibilidades de associação de lentes esféricas: as lentes justapostas e as lentes separadas por uma certa distância. Vamos começar pela associação por justaposição.

Esta primeira associação é utilizada frequentemente em binóculos ou máquinas fotográficas, com o objetivo de corrigir aberrações cromáticas (decomposição da luz branca que ocorre quando atravessa uma única lente). Quando associamos lentes desta forma, é preciso saber obter uma lente equivalente que possua as mesmas características das lentes individuais que foram associadas.

Para isto temos o Teorema das Vergências, que diz o seguinte:

A vergência das lentes justapostas é igual à soma algébrica das vergências das lentes individuais.

Em termos matemáticos:

Onde:

V e  é a vergência da lente equivalente;
V₁ e  é a vergência da lente 1;
V₂ e  é a vergência da lente 2.

OBS: Vergência negativa implica em lente divergente e vergência positiva implica em lente convergente.

A segunda possibilidade de associação de lentes é as que estão separadas por uma certa distância. Vamos supor um sistema de duas lentes para nosso exemplo.

Para descobrir a imagem formada por este sistema, teremos de dividir o problema em duas partes:

1ª Parte) A primeira parte consiste em ignorar a lente 2 e resolver o problema levado em conta apenas a lente 1. Assim, basta usar a equação (1) para determinar a imagem produzida pela lente 1, verificando sua posição, natureza e orientação. Fazemos então um esboço da imagem.

2ª Parte) A segunda parte consiste em ignorar a lente 1 e tratar a imagem formada na etapa anterior como o objeto. Novamente utilizamos a equação (1) para determinar a imagem produzia pela lente 2, verificando também, sua posição, natureza e orientação. Fazemos então o esboço final da imagem formada.

Exercícios

1) Um objeto está a 60 cm de uma lente convergente que possuem foco em 20 cm. Com base nestas informações, calcule:

a) A distância da imagem formada até a lente.

Para resolver este item, basta utilizar a equação (1), lembrando que  (posição do objeto é sempre positiva) e  (lente convergente). Assim:

b) Caracterize a imagem.

Utilizando a equação (3), temos que:

O que significa que a imagem é real, pois p> 0, é invertida, pois o aumento linear é negativo e é menor do que o objeto pois o módulo do aumento é menor que 1.

Graficamente temos que:

2) Uma lente cujas faces tem 20 e 40 cm de raios de curvatura está imersa no ar. Sendo 1,5 o índice de refração do vidro, calcule:

a) Sua vergência e o tipo de lente.

Aplicando a equação (2), e sabendo que V =  temos que:

b) Sua distância focal.

Se V =  basta substituir o valor da vergência encontrada e chegar em:

3) Calcule a distância focal, a vergência e o tipo de lente formada de um par de lentes justaposto sabendo que uma lente é convergente, com foco igual a 20 cm e a outra lente é divergente com foco igual a 30 cm.

Para encontrar a vergência, basta usar o teorema das vergências sabendo que  f₁ = +0,2 m e f₂ = -0,3 m:

Sabemos também que a lente é convergente pois V > 0.

Por fim, o foco será:

Lucas Cardoso Toniol