Números Primos

Em matemática, os números primos são números inteiros maiores que 1, que têm apenas dois fatores – 1 e o próprio número.

Os números primos são divisíveis apenas pelo número 1 ou por ele mesmo.

Por exemplo: 2, 3, 5, 7 e 11 são os primeiros números primos.

Um número primo é um número inteiro maior que 1 cujos únicos fatores são 1 e ele mesmo.

Um número inteiro maior que um é chamado de número primo se seus únicos divisores (fatores) positivos forem um e ele mesmo.

Por exemplo: os divisores primos de 10 são 2 e 5, e os primeiros seis primos são 2, 3, 5, 7, 11 e 13.

Pelo teorema fundamental da aritmética, sabemos que todos os números inteiros positivos são fatorados exclusivamente em um produto de primos.

A definição de um número primo é um número que só pode ser dividido igualmente por 1 e ele mesmo.

O que são números primos?

Os números primos são um conjunto incomum de números infinitos, todos inteiros (e não frações ou decimais), e todos eles maiores que um.

Quando as teorias sobre os números primos foram adotadas pela primeira vez, o número um era considerado primo.

No entanto, no sentido moderno, nunca se pode ser primo porque tem apenas um divisor ou fator, o número um. Na definição de hoje, um número primo tem exatamente dois divisores, o número um e o próprio número.

Os gregos antigos criaram teorias e desenvolveram os primeiros conjuntos de números primos, embora também possa haver alguns estudos egípcios sobre esse assunto.

O que é interessante é que o tópico dos primos não foi muito tocado ou estudado após os Gregos Antigos até bem depois do período medieval. Então, em meados do século 17, os matemáticos começaram a estudar os primos com um foco muito maior, e esse estudo continua até hoje, com muitos métodos desenvolvidos para encontrar novos primos.

Além de encontrar números primos, os matemáticos sabem que existe um número infinito, embora não tenham descoberto todos eles, e o infinito sugere que não podem. Descobrir o primo mais alto seria impossível.

O melhor que um matemático pode almejar é encontrar o primo mais alto conhecido. Infinito significa que haveria outro, e ainda outro em uma sequência sem fim além do que foi descoberto.

A prova para a infinidade de primos remonta ao estudo de Euclides sobre eles. Ele desenvolveu uma fórmula simples pela qual dois primos multiplicados juntos mais o número um revelavam às vezes ou freqüentemente um novo número primo. O trabalho de Euclides nem sempre revelou novos primos, mesmo com números pequenos.

Aqui estão exemplos funcionais e não funcionais da fórmula de Euclides:

2 X 3 = 6 +1 = 7 (um novo primo)

5 X 7 = 35 + 1 = 36 (um número com vários fatores)

Outros métodos para evoluir os números primos nos tempos antigos incluem o uso do Crivo de Eratóstenes, desenvolvido por volta do século III aC. Neste método, os números são listados em uma grade, e a grade pode ser bastante grande. Cada número visto como um múltiplo de qualquer número é riscado até que uma pessoa alcance a raiz quadrada do número mais alto na grade.

Essas peneiras podem ser grandes e são complicadas de trabalhar em comparação com como os primos podem ser manipulados e encontrados hoje. H

oje, devido ao grande número com que a maioria das pessoas trabalha, os computadores geralmente são usados para encontrar novos números primos e são muito mais rápidos no trabalho do que as pessoas.

Ainda é preciso esforço humano para submeter um possível número primo a muitos testes a fim de garantir que seja primo, especialmente quando é extremamente grande.

Existem até prêmios para encontrar novos números que podem ser lucrativos para os matemáticos.

Atualmente, os maiores primos conhecidos têm mais de 10 milhões de dígitos de comprimento, mas dada a infinidade desses números especiais, é claro que alguém provavelmente quebrará esse limite posteriormente.

Quantos números primos terminam com 2 ou 5?

Os números primos só podem ser divididos por 1 e por ele mesmo.

Para verificar se um número é um número primo ou não, primeiro deve ser dividido por 2.

Se o número pode ser dividido por 2 e permanece um número inteiro, não é um número primo.

Depois de dividido por 2, se o número não for um número inteiro, o número deve ser dividido por 3, 5, 7 e 11.

Se o número sair um número inteiro quando dividido pelos números restantes listados, então não é um número primo.

Se o número ainda não for inteiro, então é um número primo.

Por exemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29 são números primos pelas regras listadas acima. Um fato rápido; existem apenas dois números primos que terminam com 2 ou 5, a saber, 2 e 5.

Alguns fatos interessantes sobre matemática e números:

As equações matemáticas já foram escritas em palavras porque a maioria dos símbolos matemáticos não foi inventada até o século XVI.
Pouco ouvido, um icoságono é uma forma com 20 lados.

Um número primo é:

um número inteiro que não pode ser feito pela multiplicação de outros números inteiros

(se podemos fazer isso multiplicando outros números inteiros, é um número composto)

E 1 não é primo e também não é composto.

Aqui o vemos em ação:

2 é Primo, 3 é Primo, 4 é Composto (= 2 × 2), 5 é Primo, e assim por diante …

Número composto

Um número inteiro que pode ser obtido pela multiplicação de outros números inteiros.

Exemplo: 6 pode ser feito por 2 × 3, então é um número composto.

Mas 7 não pode ser feito multiplicando outros números inteiros (1 × 7 funcionaria, mas dissemos para usar outros números inteiros), portanto, não é um número composto, é um número primo.

Todos os números inteiros acima de 1 são compostos ou primos.

Números primos e números compostos

Um número inteiro maior que 1 que não pode ser obtido pela multiplicação de outros números inteiros.

Exemplo: 5 é um número primo. Não podemos multiplicar 2, 3 ou 4 juntos para fazer 5. (Apenas 1 × 5 funciona, mas dissemos para usar outros números inteiros.)

Exemplo: 6 pode ser feito por 2 × 3, portanto NÃO é um número primo (é um número composto).

Todos os números inteiros acima de 1 são compostos ou primos.

Você já se perguntou por que o dia é dividido em exatamente 24 horas e o círculo em 360 graus?

O número 24 tem uma propriedade interessante: pode ser dividido em partes iguais inteiras de um número relativamente grande de maneiras.

Por exemplo: 24 ÷ 2 = 12, 24 ÷ 3 = 8, 24 ÷ 4 = 6 e assim por diante (complete o resto das opções você mesmo!). Isso significa que um dia pode ser dividido em duas partes iguais de 12 horas cada, diurna e noturna.

Em uma fábrica que funciona ininterruptamente em turnos de 8 horas, cada dia é dividido em exatamente três turnos.

Este é também o motivo pelo qual o círculo foi dividido em 360°. Se o círculo for dividido em duas, três, quatro, dez, doze ou trinta partes iguais, cada parte conterá um número inteiro de graus; e existem outras maneiras de dividir um círculo que não mencionamos. Nos tempos antigos, dividir um círculo em setores de tamanhos iguais com alta precisão era necessário para vários fins artísticos, astronômicos e de engenharia. Com uma bússola e um transferidor como os únicos instrumentos disponíveis, a divisão de um círculo em setores iguais tinha grande valor prático.

Um número inteiro que pode ser escrito como o produto de dois números menores é chamado de número composto
um número inteiro que pode ser escrito como produto de dois números menores, por exemplo, 24 = 3 × 8.

Por exemplo, as equações 24 = 4 × 6 e 33 = 3 × 11 mostram que 24 e 33 são números compostos. Um número que não pode ser dividido desta forma é chamado de número primo
um número inteiro que não pode ser escrito como o produto de dois números menores, como 7 ou 23.

Os números

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29

são todos números primos. Na verdade, esses são os primeiros 10 números primos (você mesmo pode verificar, se desejar!).

Olhar para esta pequena lista de números primos já pode revelar algumas observações interessantes.

Primeiro, exceto para o número 2, todos os números primos são ímpares, já que um número par é divisível por 2, o que o torna composto.

Portanto, a distância entre quaisquer dois números primos em uma linha (chamados de números primos sucessivos) é de pelo menos 2.

Encontramos números primos sucessivos cuja diferença é exatamente 2 (como os pares 3,5 e 17,19).

Existem também lacunas maiores entre os números primos sucessivos, como a lacuna de seis números entre 23 e 29; cada um dos números 24, 25, 26, 27 e 28 é um número composto.

Outra observação interessante é que em cada um dos primeiro e segundo grupos de 10 números (significando entre 1–10 e 11–20) existem quatro números primos, mas no terceiro grupo de 10 (21–30) existem apenas dois.

Um pouco de história e o conceito de um teorema

Os números primos ocuparam a atenção humana desde os tempos antigos e foram até associados ao sobrenatural. Ainda hoje, nos tempos modernos, existem pessoas tentando fornecer aos números primos propriedades místicas.

O conhecido astrônomo e autor de ciências Carl Sagan escreveu um livro em 1985 chamado “Contato”, lidando com extraterrestres (uma cultura semelhante à humana fora da Terra) tentando se comunicar com humanos usando números primos como sinais.

A ideia de que sinais baseados em números primos podem servir como base para a comunicação com culturas extraterrestres continua a inflamar a imaginação de muitas pessoas até hoje.

É comumente assumido que o interesse sério pelos números primos começou na época de Pitágoras.

Pitágoras foi um matemático grego antigo. Seus alunos, os pitagóricos – em parte cientistas e em parte místicos – viveram no século VI aC.

Eles não deixaram evidências escritas e o que sabemos sobre eles vem de histórias que foram transmitidas oralmente.

Trezentos anos depois, no século III aC, Alexandria (no Egito moderno) era a capital cultural do mundo grego.

Euclides, que viveu em Alexandria nos dias de Ptolomeu o primeiro, pode ser conhecido por você da geometria euclidiana, que leva o seu nome.

Euclides (323 – 285)

A geometria euclidiana é ensinada nas escolas há mais de 2.000 anos. Mas Euclides também estava interessado em números.

No nono livro de sua obra “Elements” (Elementos), na Proposição 20, aparece pela primeira vez uma prova matemática uma série de argumentos lógicos destinados a provar a verdade de um teorema matemático.

A prova é baseada em suposições básicas que foram testadas, ou em outros teoremas que foram previamente comprovados do teorema, uma afirmação expressa na linguagem da matemática que pode ser definitivamente considerada válida ou inválida em um determinado sistema que existem infinitos números primos.

Este é um bom lugar para dizer algumas palavras sobre os conceitos de teorema e prova matemática.

Um teorema é uma declaração expressa em uma linguagem matemática e pode ser considerada válida ou inválida.

Por exemplo, o teorema “há infinitos números primos” afirma que dentro do sistema de números naturais (1,2,3 …) a lista de números primos é infinita.

Para ser mais preciso, este teorema afirma que, se escrevermos uma lista finita de números primos, sempre seremos capazes de encontrar outro número primo que não está na lista.

Para provar esse teorema, não é suficiente apontar um número primo adicional para uma determinada lista. Por exemplo, se apontarmos 31 como um número primo fora da lista dos primeiros 10 primos mencionada antes, mostraremos de fato que essa lista não incluiu todos os números primos.

Mas talvez, ao adicionar 31, agora tenhamos encontrado todos os números primos e não há mais?

O que precisamos fazer, e o que Euclides fez há 2.300 anos, é apresentar um argumento convincente de por que, para qualquer lista finita, contanto que seja, podemos encontrar um número primo que não está incluído nela. Na próxima seção, apresentaremos a prova de Euclides, sem sobrecarregar você com muitos detalhes.

Resumo

Números primos, qualquer número inteiro positivo maior que 1 que é divisível apenas por ele mesmo e 1 – por exemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,….

Um resultado chave da teoria dos números, chamado de teorema fundamental da aritmética, afirma que todo número inteiro positivo maior que 1 pode ser expresso como o produto de números primos de uma maneira única.

Por causa disso, os primos podem ser considerados os “blocos de construção” multiplicativos para os números naturais (todos os números inteiros maiores que zero – por exemplo, 1, 2, 3, …).

Os primos são reconhecidos desde a antiguidade, quando foram estudados pelos matemáticos gregos Euclides (fl. C. 300 aC) e Eratóstenes de Cirene (c. 276–194 aC), entre outros.

Eratóstenes de Cirene (c. 276–194 aC)

Em seus Elementos, Euclides deu a primeira prova conhecida de que existem infinitos primos.

Várias fórmulas foram sugeridas para descobrir os primos, mas todas foram falhas.

Dois outros resultados famosos relativos à distribuição de números primos merecem menção especial: o teorema dos números primos e a função zeta de Riemann.

Desde o final do século 20, com a ajuda de computadores, foram descobertos números primos com milhões de dígitos. Como os esforços para gerar cada vez mais dígitos de p, pensava-se que essa pesquisa da teoria dos números não tinha aplicação possível – isto é, até que os criptógrafos descobrissem como grandes números primos poderiam ser usados para fazer códigos quase inquebráveis.

Fonte: www.splashlearn.com/whatis.techtarget.com/www.bbc.co.uk/mathforum.org/www.wisegeek.org/primes.utm.edu/Encyclopaedia Britannica/www.mathsisfun.com/www.frontiersin.org