Triângulo de Pascal

Definição do triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é um tipo de padrão numérico. Os números são tão organizados que refletem como um triângulo.

Um triângulo de números em que uma linha representa os coeficientes da série binomial.

O triângulo de Pascal é um triângulo de números delimitado por um do lado direito e esquerdo, e todo número dentro do triângulo é a soma dos dois números acima dele.

A maioria das pessoas é apresentada ao triângulo de Pascal por meio de um conjunto de regras aparentemente arbitrárias. Comece com 1 na parte superior e com 1 passando pelos dois lados de um triângulo.

Cada número adicional fica entre 1 e 2 números e abaixo deles, e seu valor é a soma dos dois números acima dele. O triângulo teórico é infinito e continua para baixo para sempre, mas apenas as 6 primeiras linhas aparecem na figura 1.

Uma maneira diferente de descrever o triângulo é visualizar que a primeira linha é uma sequência infinita de zeros, com exceção de um único 1.

Para obter linhas sucessivas, adicione todos os pares adjacentes de números e escreva a soma entre e abaixo deles. A parte diferente de zero é o triângulo de Pascal.

Em matemática, o que é o triângulo de Pascal?

O triângulo de Pascal é uma matriz triangular de números que se relacionam entre si de maneiras interessantes e úteis da perspectiva da matemática.

A formação do triângulo é um assunto relativamente simples, no qual dois números adjacentes são somados para formar um número diretamente abaixo no triângulo.

Isso expande o triângulo a uma taxa regular e cria linhas e diagonais de números que podem ser analisados de várias maneiras.

A relação entre os números pode ser expressa como uma fórmula matemática, mas a construção do triângulo não exige essa fórmula, embora as razões pelas quais os padrões evoluam sejam muito mais complexas.

Não apenas os números individuais se relacionam no triângulo, mas as somas dos números e os padrões que eles formam também têm aplicações interessantes em matemática.

A maioria das pessoas no Ocidente associa o triângulo de Pascal a Blaise Pascal, devido à sua investigação detalhada das propriedades matemáticas desses números, mas esse triângulo e a relação reconhecida desses números são anteriores a séculos.

Na China, Yanghui estudou e descreveu esta série, por isso está mais fortemente associada a esse matemático.

Pascal organizou suas investigações sobre esse tópico em um tratado, criando uma avaliação unificada das muitas complexidades desse triângulo.

A conexão entre o triângulo de Pascal e outros conceitos matemáticos é complexa. Possui relações com os números de Fibonacci, o triângulo de Sierpinski e muitos outros padrões matemáticos estabelecidos.

Ele também possui vários usos práticos, como calcular combinações. Os matemáticos podem estender o triângulo de Pascal em números negativos, revelando padrões ainda mais interessantes.

Alguns dos aspectos mais interessantes do triângulo de Pascal envolvem o cálculo de somas de números em linhas ou diagonais rasas. Os padrões dessas somas estão relacionados a várias outras seqüências.

Ao longo das diagonais, os números também progridem em padrões significativos.

Muitas interpretações do triângulo de Pascal rotulam o ponto do triângulo como zero e a linha com dois números como um.

Dada a forma como o triângulo é formado, a borda externa do triângulo é sempre uma.

Existem muitas maneiras diferentes pelas quais o triângulo de Pascal pode ser usado.

Nas aulas de matemática muito básicas, costuma-se pensar em padrões interessantes relacionados à matemática e incentivar as pessoas a pensar nas relações entre os números.

Para matemáticos mais avançados, o triângulo apresenta vários padrões diferentes que podem ser úteis quando se pensa em estatística e probabilidade.

Um dos exercícios mais comuns realizados nas aulas de matemática básica usando esse triângulo envolve sombreamento de números pares e ímpares de cores diferentes, a fim de destacar os padrões que se formam.

Triângulo de Pascal – Números

O triângulo de Pascal é um triângulo equilátero infinito composto por números.

Os números que compõem o triângulo de Pascal seguem uma regra simples: cada número é a soma dos dois números acima dele.

Triângulo de Pascal

Olhando para o triângulo de Pascal, você notará que o número superior do triângulo é um. Todos os números em cada um dos lados descendo do topo são todos. Os números no meio variam, dependendo dos números acima deles.

Como o triângulo de Pascal é infinito, não há linha inferior. Apenas continua indo e vindo.

O triângulo de Pascal é nomeado para Blaise Pascal, um matemático francês que usou o triângulo como parte de seus estudos em teoria das probabilidades no século XVII.

Blaise Pascal realmente não “descobriu” o triângulo com o seu nome. Na verdade, tem sido estudado em todo o mundo há milhares de anos.

Por exemplo, os historiadores acreditam que matemáticos antigos na Índia, China, Pérsia, Alemanha e Itália estudaram o triângulo de Pascal muito antes de Pascal nascer.

Pascal desenvolveu novos usos dos padrões do triângulo, que ele descreveu em detalhes em seu tratado matemático sobre o triângulo.

O padrão básico do triângulo de Pascal é bastante simples.

Apesar de sua simplicidade, o triângulo de Pascal continuou surpreendendo os matemáticos ao longo da história com suas conexões interessantes com tantas outras áreas da matemática, como probabilidade, combinatória, teoria dos números, álgebra e fractais.

Então, por que o triângulo de Pascal é tão fascinante para os matemáticos?

Quanto mais você estuda o triângulo de Pascal, mais padrões interessantes você encontra. Isso é importante na matemática, porque a própria matemática tem sido chamada de “estudo de padrões” e até de “ciência dos padrões”.

Muitos dos usos matemáticos do triângulo de Pascal são difíceis de entender, a menos que você seja um matemático avançado. Mesmo os jovens estudantes, no entanto, conseguem reconhecer alguns dos padrões mais simples encontrados no triângulo de Pascal.

Por exemplo, o lado esquerdo do triângulo de Pascal é todo.

O próximo conjunto de números, conhecido como a primeira diagonal, é o conjunto de números contados: um, dois, três, quatro, cinco, etc.

Você também notará um padrão interessante se somar os números em cada linha horizontal, começando no topo. As somas dobram cada vez que você desce uma linha, tornando-as os poderes do número dois!

Construção do triângulo de Pascal

A maneira mais fácil de construir o triângulo é começar na linha zero e escrever apenas o número um.

A partir daí, para obter os números nas linhas a seguir, adicione o número diretamente acima e à esquerda do número com o número acima e à direita para adquirir o novo valor.

Se não houver números à esquerda ou à direita, substitua um zero pelo número ausente e continue com a adição. Abaixo está uma ilustração das linhas de zero a cinco.

A partir da figura acima, se vemos na diagonal, a primeira linha diagonal é a lista de uma, a segunda linha é a lista de números contados, a terceira diagonal é a lista de números triangulares e assim por diante.

Triângulo de Pascal – História

O triângulo de Pascal, na álgebra, um arranjo triangular de números que fornece os coeficientes na expansão de qualquer expressão binomial, como (x + y)ⁿ.

É nomeado para o matemático francês do século XVII Blaise Pascal, mas é muito mais antigo. O matemático chinês Jia Xian criou uma representação triangular para os coeficientes no século XI.

Seu triângulo foi estudado e popularizado pelo matemático chinês Yang Hui no século XIII, motivo pelo qual na China é freqüentemente chamado de triângulo Yanghui.

Foi incluído como ilustração no matemático chinês Zhu Shijie, Siyuan yujian (1303; “Espelho precioso dos quatro elementos”), onde já era chamado de “Método antigo”.

O notável padrão de coeficientes também foi estudado no século 11 pelo poeta e astrônomo persa Omar Khayyam.

O matemático chinês Jia Xian criou uma representação triangular para os coeficientes em uma expansão de expressões binomiais no século XI.

Seu triângulo foi estudado e popularizado pelo matemático chinês Yang Hui no século XIII, motivo pelo qual na China é freqüentemente chamado de triângulo Yanghui.

Foi incluído como ilustração no Siyuan yujian de Zhu Shijie (1303; “Espelho precioso dos quatro elementos”), onde já era chamado de “Método antigo”. O notável padrão de coeficientes também foi estudado no século 11 pelo poeta e astrônomo persa Omar Khayyam.

Foi reinventado em 1665 pelo matemático francês Blaise Pascal, no Ocidente, onde é conhecido como triângulo de Pascal.

O triângulo pode ser construído colocando-se primeiro 1 (chinês “-”) nas bordas esquerda e direita. Em seguida, o triângulo pode ser preenchido de cima adicionando os dois números logo acima, à esquerda e à direita de cada posição no triângulo. Assim, a terceira linha, em números hindu-arábicos, é 1 2 1, a quarta linha é 1 4 6 4 1, a quinta linha é 1 5 10 10 5 1 e assim por diante. A primeira linha, ou apenas 1, fornece o coeficiente para a expansão de (x + y)⁰ = 1; a segunda linha, ou 1 1, fornece os coeficientes para (x + y)¹ = x + y; a terceira linha, ou 1 2 1, fornece os coeficientes para (x + y)² = x² + 2xy + y²; e assim por diante.

O triângulo exibe muitos padrões interessantes. Por exemplo, desenhar paralelas “diagonais rasas” e somar os números em cada linha produz os números de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…,), que foram notados pela primeira vez pelo italiano medieval o matemático Leonardo Pisano (“Fibonacci”) em seu Liber abaci (1202; “Livro do Ábaco”).

Adicionar os números ao longo de cada “diagonal rasa” do triângulo de Pascal produz a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5,….

Outra propriedade interessante do triângulo é que, se todas as posições que contêm números ímpares estiverem sombreadas em preto e todas as posições que contenham números pares estiverem sombreadas em branco, será formado um fractal conhecido como gadget Sierpinski, após a formação do matemático polonês Waclaw Sierpinski do século 20.

O matemático polonês Waclaw Sierpinski descreveu o fractal que leva seu nome em 1915, embora o design como motivo de arte remova pelo menos a Itália do século XIII.

Comece com um triângulo equilátero sólido e remova o triângulo formado conectando os pontos médios de cada lado.

Os pontos médios dos lados dos três triângulos internos resultantes podem ser conectados para formar três novos triângulos que podem ser removidos para formar nove triângulos internos menores.

O processo de cortar peças triangulares continua indefinidamente, produzindo uma região com uma dimensão de Hausdorff um pouco maior que 1,5 (indicando que é mais que uma figura unidimensional, mas menor que uma figura bidimensional).

Quem foi Blaise Pascal?

Blaise Pascal foi um matemático, filósofo e físico na França do século XVII.

Ele fez contribuições significativas para o mundo matemático e científico desde muito jovem, antes de voltar suas atenções para religião e filosofia após uma dramática conversão aos 31 anos.

Pascal deu seu nome a vários conceitos matemáticos e científicos importantes, e suas obras religiosas são consideradas obras-primas da língua francesa.

Blaise Pascal nasceu em 19 de junho de 1623 na cidade de Clermont, em Auvergne, França. Sua mãe morreu três anos depois e o resto da família se mudou para Paris cinco anos depois.

Blaise e suas duas irmãs eram crianças muito brilhantes, e seu pai, Etienne Pascal, os encorajou. Etienne também era um matemático e cientista amador, inspirando os primeiros trabalhos de seu filho nesse sentido.

Blaise Pascal escreveu uma série de tratados matemáticos precoces antes dos 18 anos de idade e descobriu o que hoje é conhecido como teorema de Pascal, com relação às seções cônicas na geometria projetiva, aos 16 anos.

Quando Blaise Pascal tinha 15 anos, a família mudou-se para Rouen porque a oposição de seu pai a algumas das políticas do cardeal Richelieu os tornou indesejados em Paris.

Blaise Pascal continuou seu trabalho matemático, inventando uma calculadora mecânica mais tarde chamada pascalina aos 18 anos. O trabalho matemático posterior de Pascal tratava de geometria e probabilidade.

Além de seu trabalho em matemática, Pascal contribuiu para os campos científicos da hidrodinâmica e hidrostática nos seus vinte anos.

Ele inventou a seringa e a prensa hidráulica e desenvolveu conceitos que agora são centrais no campo da hidrostática.

Blaise Pascal sofria de uma condição nervosa dolorosa desde os 18 anos e ficou parcialmente paralisado em 1647.

Na mesma época, seu pai foi ferido e assistido por um médico que também era jansenista, uma das principais facções católicas da França na França, A Hora.

Pascal começou a pensar mais sobre religião e a escrever sobre questões teológicas, mas sua vida não mudou drasticamente até uma experiência angustiante em 1654.

Naquele ano, Blaise Pascal quase perdeu a vida em um acidente de carruagem, no qual os cavalos corriam de uma ponte, deixando a carruagem pendurada na borda. Pascal desmaiou e ficou inconsciente por 15 dias, no final dos quais teve uma experiência mística que o inspirou a dedicar todas as suas atenções à religião.

Blaise Pascal era um matemático, filósofo e físico francês do século XVII

As principais obras religiosas de Pascal foram as Cartas Provinciais e os Pensées, ou “Pensamentos”.

As Cartas Provinciais atacaram o que Pascal via como corrupção na Igreja Católica de sua época. Os Pensées, embora inacabados, lidaram com questões muito mais amplas da filosofia religiosa e continuam sendo uma das obras mais célebres da literatura francesa.

Blaise Pascal ficou extremamente doente aos 36 anos e morreu três anos depois. A causa exata da morte nunca foi determinada, mas uma autópsia revelou que vários de seus órgãos estavam em péssimo estado.

Embora a vida de Pascal tenha sido curta, suas contribuições ao pensamento científico e religioso tiveram um efeito duradouro no mundo.

Fonte: brilliant.org/www.mathsisfun.com/mathforum.org/www.matematica.pt/www.geeksforgeeks.org/www.wisegeek.org/wonderopolis.org/byjus.com/colalg.math.csusb.edu/jwilson.coe.uga.edu