Teoria dos Conjuntos

Elemento, conjunto e pertinência

Denomina-se conjuntos, qualquer coleção de números, objetos, entre outros.

Geralmente denota-se conjuntor por meio de letras latinas maiúsculas.

Cada um dos componentes de um conjunto é um elemento presente nele.

O conjunto A dos algarismos do número 3554 tem 3 elementos: 3,5 e 4.

A pertinência e sua negação são relações que indicam se um dado elemento pertence ou não a certo conjunto.

Escrevemos:

3 ∈ A ( 3 pertence a A) para indicar que 3 é elemento do conjunto A.

9 ∉ A ( 9 não pertence a A) para indicar que 8 não é elemento do conjunto A.

Representação de um conjunto

Um conjunto pode ser representado por enumeração: seus elementos são enumerados entre chaves, separados por vírgula ou ponto e vírgula.

Conjunto Unitário e conjunto vazio

Consideram-se também conjuntos com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto que não tem nenhum elemento, denominado conjunto vazo, indicado por { }ou, pelo símbolo ∅.

Exemplo: Considerandos-e o universo U= { 1,2,4,5,6}

A = { x ∈ U Ι x< 2} =  {1} É um conjunto unitário.

B = {  x ∈ U Ι x >6} = { } = Ø é o conjunto vazio.

Conjunto: coleção de objetos bem definidos, denominados elementos ou membros do conjunto. – As palavras “conjunto” e “elementos” são termos indefinidos da teoria dos conjuntos.

Teoria dos conjuntos: base do pensamento matemático. – Todos objetos matemáticos podem ser definidos em termos de conjuntos.

Notação:

Seja S um conjunto e a um elemento de S.

– a ∈ S: a pertence a S

– a 6∈ S: a não pertence a S

• Axioma da extensão: – Um conjunto é completamente determinado pelos seus elementos. – A ordem na qual os elementos são listados é irrelevante. – Elementos podem aparecer mais de uma vez no conjunto.

Formas de definir um conjunto

• Listar seus elementos entre chaves:

– {Ana, Roberto, Carlos} – {Roberto, Carlos, Ana} – {Roberto, Roberto, Ana, Carlos, Ana}

• Especificar uma propriedade que define um conjunto, como S ={x|P(x)}:

{x ∈ Z| − 2 < x < 5}

{x ∈ R| − 2 < x < 5}

P(x) não pode ser uma propriedade qualquer.

Exemplo: S = {A|A é um conjunto e A 6∈ A}; S ∈ S? [Paradoxo de Russel]

Usar uma definição recursiva:

– ( 1 ∈ A se x ∈ A e x + 2 < 10, então x + 2 ∈ A

Formas de definir um conjunto

• Usar operações sobre conjuntos para criar novos conjuntos: – S = {1, 3, 5, 7, 9} ∪ P

• Especificar uma função característica:

Nem sempre é possível utilizar todos os tipos de definição:

Exemplo: S = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}

Não é possível definir S listando os elementos.

Fonte; www.colegiosaofrancisco.com.br/homepages.dcc.ufmg.br