Coordenadas Polares

As coordenadas polares são qualquer um dos dois números que localizam um ponto em um plano por sua distância de um ponto fixo em uma linha e o ângulo que esta linha faz com uma linha fixa

As Coordenadas polares são um conjunto de valores que quantificam a localização de um ponto com base em:

1) a distância entre o ponto e uma origem fixa e

2) o ângulo entre o ponto e uma direção fixa.

As coordenadas polares são um sistema complementar às coordenadas cartesianas, que são localizadas movendo-se através de um eixo x e para cima e para baixo no eixo y de maneira retangular.

Enquanto as coordenadas cartesianas são escritas como (x, y), as coordenadas polares são escritas como (r,?).

Normalmente coordenadas polares. uma das duas coordenadas usadas para localizar um ponto em um plano pelo comprimento de seu vetor de raio e o ângulo que esse vetor faz com o eixo polar (ângulo polar).

O que são coordenadas polares?

As coordenadas polares são uma forma de expressar a posição em um plano bidimensional.

As coordenadas cartesianas, também chamadas de coordenadas retangulares, utilizam uma distância em cada uma das duas dimensões para localizar um ponto, mas as coordenadas polares usam um ângulo e uma distância. A distância às vezes é chamada de raio.

Normalmente, as coordenadas retangulares são denotadas (x, y), onde x e y são as distâncias ao longo dos respectivos eixos.

De maneira semelhante, as coordenadas polares são expressas como (r,?). A letra r é a distância da origem no ângulo representado pela letra grega theta,?, onde r pode ser um número positivo ou negativo.

Se uma distância negativa for usada, a magnitude da distância não muda, mas a direção é tomada em oposição ao ângulo ? no outro lado da origem.

Um ponto em um sistema de coordenadas polares pode ser referido como representando um vetor, com uma magnitude de r, uma direção de ? e um senso de direção, que é o sinal de r.

A tradução entre coordenadas retangulares e polares pode ser realizada por meio do uso de fórmulas trigonométricas.

Para a conversão de retangular em polar, as seguintes fórmulas podem ser aplicadas: ? = tan-1 (y / x) e r = v(x² + y²)

Para mudanças de polar para retangular, essas equações podem ser empregadas: x = rcos? e y = rsin?..

.As coordenadas polares tendem a ser usadas para qualquer situação em que as coordenadas retangulares sejam difíceis ou inadequadas de usar e vice-versa.

Qualquer aplicação envolvendo geometria circular ou movimento radial é idealmente adequada para coordenadas polares, porque essas geometrias podem ser descritas com equações relativamente simples em um sistema de coordenadas polares; seus gráficos são mais curvilíneos ou circulares na aparência em comparação com aqueles em sistemas de coordenadas retangulares.

Como resultado, as coordenadas polares têm uso para representar modelos de fenômenos do mundo real que têm formas arredondadas semelhantes.

As aplicações das coordenadas polares são bastante variadas.

Os gráficos de coordenadas polares foram usados para modelar os campos sonoros produzidos por diferentes locais de alto-falantes ou as áreas onde diferentes tipos de microfones podem captar melhor o som.

As coordenadas polares são de grande importância na modelagem dos movimentos orbitais em astronomia e viagens espaciais. Eles também são a base gráfica para a famosa Fórmula de Euler, que é regularmente aplicada em matemática para representação e manipulação de números complexos.

Como suas contrapartes retangulares, as coordenadas polares não precisam ser limitadas a apenas duas dimensões. Para expressar valores em três dimensões, um segundo ângulo representado pela letra grega phi, f, pode ser adicionado ao sistema de coordenadas. Qualquer ponto pode ser localizado desde a origem por uma distância fixa e dois ângulos, e pode ser atribuído as coordenadas (r,?,f).

Quando este tipo de nomenclatura é usado para rastrear e localizar pontos no espaço tridimensional, o sistema de coordenadas é designado como um sistema de coordenadas esféricas.

Esse tipo de geometria às vezes é chamado de coordenadas polares esféricas.

Coordenadas esféricas, na verdade, têm uma aplicação bem conhecida – são usadas no mapeamento da Terra.

O ? é ângulo é normalmente a latitude e é limitado entre -90 graus e 90 graus, enquanto o ângulo f é a longitude e é mantido entre menos-180 e 180 graus. Nesta aplicação, r pode às vezes ser ignorado, mas é mais frequentemente empregado para a expressão de elevação acima do nível médio do mar.

Uma introdução às coordenadas polares

Em certo sentido, pode parecer estranho que a primeira maneira que aprendemos a representar a posição de objetos em matemática seja usando coordenadas cartesianas, quando esse método de localização não é o mais natural ou o mais conveniente. Para começar, você deve usar números negativos e também positivos para descrever todos os pontos no plano e criar uma grade (eixos de poço) para usar como referência.

Quando você pergunta a uma criança onde ela deixou a bola, ela dirá “logo ali” e aponta. Eles estão descrevendo (embora de forma muito aproximada) uma distância “justo” e uma direção “ali” (apoiada por um ponto ou acenar com a cabeça). Quando você pergunta a alguém onde fica a cidade dela, ela costuma dizer coisas como “cerca de 30 milhas ao norte de Londres”. Novamente, uma distância e direção. Não é muito frequente que alguém dê a latitude e longitude de sua cidade!

O uso de distância e direção como meio de descrever a posição é, portanto, muito mais natural do que usar duas distâncias em uma grade. Este meio de localização é usado em coordenadas polares e rolamentos.

As coordenadas polares de um ponto descrevem sua posição em termos de uma distância de um ponto fixo (a origem) e um ângulo medido de uma direção fixa que, curiosamente, não é “norte ” (ou para cima em uma página), mas” leste ” (para a direita). Essa é a direção Boi nos eixos cartesianos.

Assim:

No plano, escolhemos um ponto fixo O, conhecido como “o pólo ”.

Em seguida, escolhemos um eixo Ox através do pólo e o chamamos de “eixo polar”.

Precisamos agora de uma maneira de descrever esses pontos de uma forma eficiente e compreendida por todos.

Dizemos que (r, ?) são as coordenadas polares do ponto P, onde r é a distância P é da origem O e ? o ângulo entre Ox e OP.

Isso também significa que as coordenadas polares do pólo O são (0, ?), onde ? pode ser qualquer ângulo.

Coordenadas polares – Dimensões

Em duas dimensões, as coordenadas cartesianas (x, y) especifique a localização de um ponto P no plano.

Outro sistema de coordenadas bidimensional são as coordenadas polares.

Em vez de usar as distâncias sinalizadas ao longo dos dois eixos de coordenadas, as coordenadas polares especificam a localização de um ponto P no plano por sua distância r da origem e o ângulo ? feito entre o segmento de linha da origem a P e o eixo x- positivo.

As coordenadas polares (r,?) de um ponto P são ilustradas na figura abaixo.

Como r varia de 0 a infinito e ? varia de 0 a 2p, o ponto P especificado pelas coordenadas polares (r,?) cobre todos os pontos no plano.

Adicionar 2p a ? nos leva de volta ao mesmo ponto, portanto, se permitíssemos que ? abrangesse um intervalo maior que 2p, cada ponto teria várias coordenadas polares.

Portanto, normalmente restringimos ? para estar no intervalo 0=? <2p.

Porém, mesmo com essa restrição, ainda existe alguma não unicidade das coordenadas polares: quando r = 0, o ponto P está na origem independente do valor de ?.

Quando você altera os valores das coordenadas polares r e ? arrastando os pontos vermelhos nos controles deslizantes, o ponto azul se move para a posição correspondente (x, y) nas coordenadas cartesianas.

Alternativamente, você pode mover o ponto azul no plano cartesiano diretamente com o mouse e observar como as coordenadas polares nos controles deslizantes mudam.

A coordenada r é o comprimento do segmento de linha do ponto (x, y) à origem e a coordenada ? é o ângulo entre o segmento de linha e o eixo x positivo.

Coordenadas polares – Sistemas

Um sistema de coordenadas em que a localização de um ponto é determinada por sua distância de um ponto fixo no centro do espaço de coordenadas (chamado de pólo) e pela medição do ângulo formado por uma linha fixa (o eixo polar, correspondente ao eixo x em coordenadas cartesianas) e uma linha do pólo através do ponto dado.

As coordenadas polares de um ponto são dadas como (r,?), onde r é a distância do ponto ao pólo e ? é a medida do ângulo.

Os sistemas de coordenadas são ferramentas que nos permitem usar métodos algébricos para entender a geometria.

Embora as coordenadas retangulares (também chamadas de cartesianas) que estamos usando sejam as mais comuns, alguns problemas são mais fáceis de analisar em sistemas de coordenadas alternativas.

Um sistema de coordenadas é um esquema que nos permite identificar qualquer ponto no plano ou no espaço tridimensional por um conjunto de números.

Em coordenadas retangulares, esses números são interpretados, grosso modo, como os comprimentos dos lados de um retângulo.

Em coordenadas polares, um ponto no plano é identificado por um par de números (r,?).

O número ? mede o ângulo entre o eixo x positivo e um raio que passa pelo ponto, conforme mostrado na figura abaixo; o número r mede a distância da origem ao ponto.

A figura abaixo mostra o ponto com coordenadas retangulares () e coordenadas polares (2, p / 3), 2 unidades da origem e p / 3 radianos do eixo x positivo.

Coordenadas polares do ponto

Assim como descrevemos curvas no plano usando equações envolvendo x e y, também podemos descrever curvas usando equações envolvendo r e ?.

História

É sabido que os gregos usavam os conceitos de ângulo e raio.

O astrônomo Hipparchus (190-120 aC) tabulou uma tabela de funções do acorde dando o comprimento do acorde para cada ângulo, e há referências ao uso de coordenadas polares no estabelecimento de posições estelares. Em sobre as espirais, Arquimedes descreve sua famosa espiral, função cujo raio depende do ângulo. O trabalho grego, no entanto, não se estendeu a um sistema de coordenadas completo.

Existem vários relatos de quem primeiro introduziu as coordenadas polares como parte de um sistema de coordenadas formal.

A história completa do assunto é descrita em Origem das Coordenadas Polares, do professor de Harvard Julian Lowell Coolidge.

Grégoire de Saint-Vincent e Bonaventura Cavalieri introduziram os conceitos de forma independente quase ao mesmo tempo. Saint-Vincent escreveu sobre eles em particular em 1625 e publicou em 1647, enquanto Cavalieri publicou em 1635 com uma versão corrigida aparecendo em 1653.

Cavalieri primeiro utilizou coordenadas polares para resolver um problema relacionado à área dentro de uma espiral arquimediana.

Blaise Pascal subsequentemente usou coordenadas polares para calcular o comprimento dos arcos parabólicos.

Em Method of Fluxions (escrito em 1671, publicado em 1736), Sir Isaac Newton foi o primeiro a considerar as coordenadas polares como um método de localização de qualquer ponto no plano.

Newton examinou as transformações entre coordenadas polares e nove outros sistemas de coordenadas. Em Acta eruditorum (1691), Jacob Bernoulli usou um sistema com um ponto em uma linha, chamado pólo e eixo polar, respectivamente. As coordenadas foram especificadas pela distância do pólo e o ângulo do eixo polar.

O trabalho de Bernoulli estendeu-se para encontrar o raio de curvatura das curvas expressas nessas coordenadas.

O termo “coordenadas polares” foi atribuído a Gregorio Fontana e foi usado por escritores italianos do século XVIII.

O termo apareceu em inglês na tradução de 1816 de George Peacock de Lacroix’s Differential and Integral Calculus.

Alexis Clairaut e Leonhard Euler são creditados por estender o conceito de coordenadas polares a três dimensões.

Fonte: mathinsight.org/www.merriam-webster.com/www.whitman.edu/www.alamo.edu/math.libretexts.org/www.wisegeek.org/www.cs.mcgill.ca/people.math.harvard.edu/nrich.maths.org