Lei de Biot-Savart

O campo magnético devido a uma corrente elétrica que passa em um fio de forma arbitrária pode ser calculado diretamente a partir da lei de Biot-Savart.

Consideremos o fio dividido em um grande número N de elementos de comprimento, com comprimentos ?sk (k = 1, 2, … N), pequenos o suficiente para que o campo criado pela corrente em cada um deles possa ser considerado constante.

Ao k-ésimo elemento de comprimento associa-se o vetor elemento de corrente i delta sk.

O campo magnético delta Bk criado no ponto P do espaço pelo elemento de corrente i deltas k é dado por:

Em que r é o vetor que vai do elemento de corrente ao ponto P. Essa expressão constitui a lei de Biot-Savart.

A direção do vetor é perpendicular ao plano de e r e o sentido é dado pela regra da mão direita. É interessante observar que o módulo do campo depende do inverso do quadrado da distância:

O campo magnético total no ponto P, criado por todos os elementos de corrente, é a soma

Como exemplo de aplicação da lei de Biot-Savart, pode-se calcular o campo magnético no centro de uma espira circular com uma corrente i.

Para calcular o módulo do campo magnético no ponto considerado, dividimos a espira em um grande número N de partes, cada qual de comprimento .

O módulo do campo magnético produzido pelo elemento de corrente vale:

O módulo do campo magnético produzido pela espira inteira é a soma dos módulos dos vetores campo magnético produzidos por todos os N elementos de corrente, já que esses vetores são paralelos e de mesmo sentido.

Assim:

Fonte: www.ufsm.br

Lei de Biot-Savart

A lei de Biot-Savart (assim designada em homenagem aos físicos franceses Jean-Baptiste Biot e Félix Savart) estabelece a equação do campo de indução magnética B produzida num ponto P por um fio de corrente I.

Em notação vectorial esta relação é dada pela seguinte equação:

Em que:

r é o vector posição do ponto P onde se pretende calcular o campo

r’ é o vector que define os pontos do fio

km representa a constante magnetostática que no Sistema Internacional de Unidades tem o seguinte valor experimental:

Fonte: www.knoow.net

Lei de Biot-Savart

Até aqui preocupamo-nos em tentar descrever as forças sobre as cargas e correntes que são postas em campos magnéticos produzidos externamente. Ao fazer isto, não considereamos que tipo de campo magnético é produzido por correntes ou pelas próprias cargas em movimento e assim ainda não abordamos o problema de descrever e explicar os resultados das experiências de Oersted, o qual será discutido a seguir.

Durante o século XVIII muitos cientistas tentaram encontrar uma conexão entre a eletricidade e o magnetismo. Observaram que cargas elétricas estacionárias e imãs não provocavam qualquer influência um no outro. Mas em 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) mostrou que uma bússola sofria deflexão quando era colocada perto de um fio percorrido por uma corrente. Por outro lado era conhecido que campos magnéticos produzem deflexão em bússola, o que levou Oersted a concluir que correntes elétricas induzem campos magnéticos. Com isto ele havia encontrado, então, uma conexão entre eletricidade e o magnetismo. Ele observou também, que os campos magnéticos produzidos por correntes elétricas, em um fio retilíneo, tinham a forma de círculos concêntricos como mostra a Fig.1(a). O sentido destas linhas é indicado pelo norte da bússola. Uma outra forma de se determinar o sentido das linhas de B é usar a regra da mão direita, a qual é mostrada esquematicamente Fig. 1(b).

Campos magnéticos produzidos por correntes elétricas

Em nosso estudo da eletrostática, observamos que a lei de Coulomb, descrevendo o campo elétrico de cargas puntiformes foi simplesmente o modo pelo qual as observações experimentais relativas a forças eletrostáticas em corpos carregados poderiam ser melhor resumidas. A situação é a mesma em relação a campos magnéticos produzidos por correntes estacionárias. Não há meio de se deduzir uma expressão para estes campos; tudo o que podemos fazer é observar as forças magnéticas criadas por correntes reais experimentalmente e então tentar achar uma expressão matemática para o campo magnético que esteja de acordo com os resultados de todas as observações. Foi justamente desta maneira que a lei de Biot-Savart, a qual dá o campo magnético criado pelo fluxo de corrente em um condutor, foi descoberta.

A lei de Biot-Savart diz-nos que o elemento de indução magnética dB associado a uma corrente i em um segmento de um fio condutor descrito por dl é:

a– dirigido em uma direção perpendicular ao dl e ao vetor posição r do segmento do
condutor ao ponto P, no qual o campo está sendo medido, como está ilustrado na Fig. 2 ;

b- diretamente proporcional ao comprimento dl do segmento e à corrente i que ele carrega;

c- inversamente proporcional em módulo ao quadrado da distância r entre o elemento de corrente e o ponto P.

d- proporcional ao seno do ângulo q entre os vetores di e r .

Campo magnético devido a um fio condutor

Esta lei pode ser expressa matematicamente por:

É evidente que a equação (6) concretiza todos os resultados estabelecidos acima, pois ela nos diz que o vetor dB é perpendicular a dl e a r e tem um módulo proporcional a idlsenq /r2, que é exatamente o observado. Nós nos referimos anteriormente ao fato de que as forças magnéticas exibem uma dependência do inverso do quadrado da distância, como as forças de Coulomb entre cargas elétricas. Isto é claramente considerado na equação (6). A constante de proporcionalidade em eq.(6) é geralmente escrita na forma m o/4p , por razões um tanto semelhantes àquelas estabelecidas para escrever a constante de proporcionalidade para a lei de Coulomb na eletrostática (1/4p e o). Escrevendo a constante de proporcionalidade deste modo, a eq. (6) torna-se;

A constante mo é uma medida fundamental da intensidade do magnetismo associada ao fluxo de carga elétrica. Ela é algumas vezes referida como a permeabilidade do espaço livre. Seu valor numérico depende, é claro, do sistema de unidades que usamos para descrever as outras quantidades na equação. No sistema métrico de unidades mks, esta constante tem o valor mo = 4p ´ 10-7T.m/A.

Infelizmente a lei de Biot-Savart acima, dá-nos apenas o elemento diferencial da indução magnética B , então para determinar B é necessários somar a contribuição de todos os elementos infinitesimais dl. Esta soma infinita é denonimada de integral, conceito este que será discutido em outra oportunidade. Assim a equação (7), neste limite, assume a forma,

Uma outra forma de apresentar a lei de Biot-Savart é fazendo um analogia com a eletrostática, como a seguir;

Campo elétrico produzido por uma carga infinitesimal

O campo elétrico criado por uma carga infinitesimal (veja Fig.3) é dada por

Usando a equação que conecta os campos magnético e elétrico temos que

Assumindo a constante K/c2 = mo/4p a equação acima é exatamente a lei de Biot-Savart obtida anteriormente.

Fonte: www.dominiotemporario.com

Lei de Biot-Savart

A lei de Biot-Savart indica o campo magnético criado por correntes eléctricas estacionárias. No caso das correntes que circulam por circuitos filiformes (ou fechados), a contribuição de um elemento infinitesimal de longitude do circuito percorrido por uma corrente cria uma contribuição elementar de campo magnético, no ponto situado na posição que aponta o vetor a uma distância respecto de , quem aponta em direcção à corrente I:

onde é a permeabilidad magnética do vazio, e é um vetor unitário.

No caso de correntes distribuídas em volumes, a contribuição da cada elemento de volume da distribuição, vem dado por

onde é a densidade de corrente no elemento de volume é a posição relativa do ponto no que queremos calcular o campo, respecto do elemento de volume em questão.

Em ambos casos, o campo final resulta de aplicar o princípio de sobreposição através da expressão

Na que a integral se estende a todo o recinto que contém as fontes do campo. A lei de Biot-Savart é fundamental em magnetostática tanto como a lei de Coulomb o é em electrostática .

Fonte: pt.encydia.com