Centro de Massa

Diversas maneiras de estudar o mesmo problema

Na física, é frequente o estudo de situações complexas que exigem uma análise mais elaborada de um determinado problema. Para facilitar estes estudos, muitas vezes, são adotadas simplificações que só são possíveis através do entendimento da física. No estudo da mecânica, por exemplo, a análise do movimento de determinados corpos pode ser mais ou menos complicada dependendo das dimensões e do formato deste objeto. Quando uma vara é arremessada, por exemplo, cada parte da vara segue uma trajetória diferente, então não é possível supor seu movimento como o de uma partícula (ou ponto material) visto que suas dimensões não são desprezíveis.

Como então é possível simplificar a análise do movimento da vara, para que seja possível determinar sua trajetória?

Qualquer objeto possui um ponto em especial, chamado de centro de massa, que irá sempre descrever uma trajetória simples comparado aos demais pontos do corpo e é este ponto em especial que será estudado neste tópico.

O que é o Centro de Massa?

A definição de Centro de Massa (CM), de um sistema composto por múltiplas partículas (como a vara ou uma pessoa), serve para facilitar o estudo de seu movimento:

“Centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se movimenta como se toda massa do sistema estivesse concentrada naquele ponto. Além disso, pode-se considerar também, que todas as forças atuantes estejam aplicadas neste único ponto.”

Figura 1 – Fonte: Fundamento de Física, Volume 1 – Halliday & Resnick 9ª Edição.

A imagem acima representa o movimento do centro de massa (linha tracejada vermelha) de um taco arremessado para cima. Ao analisar somente este ponto é possível chegar a todas as conclusões cabíveis sobre o movimento do objeto.

É possível encontrar o centro de massa de um objeto ao equilibrá-lo em um dedo, por exemplo. O ponto de equilíbrio será a região do centro de massa.

Encontrando o centro de massa

A partir do que já foi estudado, podemos analisar matematicamente o movimento de um sistema de múltiplas partículas. Começaremos com um sistema simples, composto por apenas duas partículas, para analisa-lo é preciso primeiro saber as posições que estas partículas ocupam no espaço. A figura a seguir ilustra esta situação:

Figura 2

A representação acima ilustra duas partículas de massas m₁ e m₂ localizadas respectivamente nas posições x₁ e x₂ do eixo x. A posição do centro de massa deste sistema será:

Isto significa que a soma dos produtos das massas com suas respectivas posições, dividido pela massa total resultará na posição do centro massa. Esta equação vale para um sistema com muitas partículas também:

Onde M é a massa total do sistema.

Exemplo 1:

Na Figura 2, Calcule o centro de massa do sistema.

Como as partículas estão situadas somente no eixo x, o centro de massa terá apenas uma dimensão. Aplicando a equação (1), temos que:

A representação a seguir ilustra uma situação um pouco mais complexa, onde as partículas estão distribuídas em mais de uma dimensão, ou seja, possuem posições definidas em relação ao eixo x e ao eixo y:

Figura 3

Neste conjunto, o centro de massa possuirá duas coordenadas, uma relativa ao eixo x e outra relativa ao eixo y:

Repare que para a situação descrita na Figura 3, na equação (4), relativa ao eixo y, o primeiro produto do numerador será zero, pois sua posição em relação ao eixo vertical é nula. Entretanto, ainda deve ser somada à massa total M, pois ainda faz parte do sistema total de partículas.

Exemplo 2:

Na figura 3, as massas das partículas valem respectivamente 2 kg, 4 kg e 6 kg. A posição da partícula 1 no plano cartesiano é x₁ = 1 m   e y₁ = 0 m; a posição da partícula 2 é x₂ = 3 m   e y₂ = 1 m; e a posição da partícula 3 é x₃ = 2 m   e y₃ = 2 m. Dadas as informações calcule o centro de massa do sistema.

Para encontrarmos o centro de massa de um sistema bidimensional, precisamos analisar cada eixo separadamente. Aplicando a equação (3) obtemos:

Agora aplicado a equação (4) para o mesmo sistema obtemos:

A figura a seguir ilustra a localização do centro de massa do sistema com base nos valores encontrados:

Figura 4

Quando trabalhamos com um sistema de partículas onde cada uma delas está sujeita a uma força diferente, podemos utilizar o conceito de centro de massa para considerar que todas as forças estão atuando sobre o mesmo ponto, como ilustra o exemplo a seguir.

Exemplo 3:

A Figura 5 ilustra 3 partículas, m₁ = 1 kg, m₂ = 3 kg e m₃ = 3 kg, que estão sujeitas às forças  = 10 N,  = 5 N e  = 3 N, respectivamente. O valor do ângulo da força aplicada sobre a partícula 2 vale 45º. Calcule o centro de massa do sistema e a força resultante sobre ele.

Figura 5

Por se tratar de um sistema bidimensional, será preciso calcular o centro de massa para os dois eixos:

Onde os valores das posições, em metros, das partículas podem ser encontrados analisando a Figura 5.

Determinado o centro de massa, podemos agora aplicar todas as forças em um único ponto:

Figura 6

Decompondo a Força 2 temos que 

Só existe uma única força atuando no eixo y, logo equivale à própria resultante:

No eixo x, basta realizar a somar vetorial das forças que atuam no eixo horizontal:

Ou podemos dizer que a à Noroeste.

Lucas Toniol