Produtos Notáveis

O que são produtos notáveis?

Os produtos notáveis são multiplicações entre termos que acontecem com frequência, então, acaba se tornando muito útil sabê-los. Para estudá-los, vamos dividir em 5 casos a saber.

Por que eu preciso saber produtos notáveis?

Produtos notáveis são muito importantes para o desenvolvimento rápido, fácil e com menor chance de erro de equações algébricas, te levando para a solução e conclusões a respeito do problema.

Primeiro caso

Um produto notável muito importante e recorrente é o quadrado da soma, isto é, um termo do tipo:

(a+b)² = (a+b)*(a+b)

Em que a e b são quaisquer números reais positivos.

Agora vamos desenvolver o produto, multiplicando cada termo pela propriedade distributiva e verificar o resultado:

(a+b)*(a+b) = a*a + a*b + b*a + b*b

 Como a multiplicação tem a propriedade de ser comutativa (ou seja, a*b=b*a), reduzimos o resultado para:

(a+b)² = a*a + a*b + b*a + b*b = a² + 2*a*b + b²

Dizemos, então, que o quadrado da soma de dois termos é dada pela soma do quadrado do primeiro, duas vezes o primeiro vezes o segundo e o segundo termo ao quadrado.

Vamos ver exemplos:

Exemplo 1) (6+b)² = 6² + 2*6*b + b² = b² + 12b + 36

Exemplo 2) (a+4)² = a² + 2*4*a + 4² = a² + 8*a + 16

Exemplo 3) (10+2)² = 10² + 2*10*2 + 2² = 100 + 40 + 4 = 144 = (12)²

Segundo caso

O segundo caso é similar ao primeiro, vamos analisar o quadrado da diferença agora.

(a-b)² = (a-b)*(a-b)

Aqui também, a e b são números reais positivos.

Vamos ver o resultado deste produto notável:

 (a-b)*(a-b) =  a*a – a*b – b*a + b*b

Novamente aqui, iremos considerar a comutatividade da multiplicação para obter o resultado final

(a-b)² =  a*a – a*b – b*a + b*b =  a² – 2*a*b + b²

Por isso, dizemos que o quadrado da diferença é dado pelo quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo termo.

Vamos ver exemplos:

Exemplo 1) (8-b)² = 64 – 2*8*b + b² = b² – 16*b + 64

Exemplo 2) (a-5)² = a² – 2*a*5 + 5² = a² – 10*a + 25

Exemplo 3) (12-9)² = 12² – 2*12*9 + 9² = 144 – 216 + 81 = 225 – 216 = 9 = (3)²

Terceiro caso

O terceiro caso trata a multiplicação da soma pela diferença, representado da forma a seguir:

(a+b)*(a-b)

Em que  a e b são reais positivos.

Vamos desenvolver produto para verificar o resultado:

(a+b)*(a-b) = a*a + a*b – b*a + b*b = a² – b²

Então dizemos que o produto da soma pela diferença é igual a diferença do quadrado do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo.

Vamos ver exemplos:

Exemplo 1) (6+2)*(6-2) = 36-4 = 32 = 8*4

Exemplo 2) (a+13)*(a-13) = a² – 169

Exemplo 3) (16+b)*(16-b) = 256 – b²

Aplicação para números complexos

Esse caso é bastante aplicável para o caso do mínimo múltiplo comum de frações cujo denominador é complexo, multiplicando o conjugado pelo numerador e denominador a fim de conservar a fração inicial e eliminar a parte imaginária do denominador.

Por exemplo, se tivermos a fração do tipo a seguir, em que a, b, c são reais positivos e i é a unidade imaginária definida por i² = -1, tal que:

Nesse exemplo, existem alguns destaques a serem feitos. Queremos, primeiramente, tornar o denominador real para poder avaliar o módulo e realizar outras operações com esta fração mais facilmente. Para isso, multiplicamos a fração inteira por 1, que é o elemento neutro da multiplicação, isto é, a multiplicação por 1 não afeta a fração.

O nosso número 1, no entanto, é bastante especial. Note que ele é composto por uma fração de numerador e denominador iguais ao complexo conjugado da fração inicial.

Outro detalhe importante, é perceber que como o número imaginário i é definido por i² = -1, o denominador final da fração resultante será (a² + b²).

Com o resultado final, podemos realizar operações.

Exemplo: para a=4, b=7, c=5

Quarto caso

O quarto caso consiste no cubo da soma de dois termos. Essa expressão é representada a seguir:

(a+b)³ = (a+b)*(a+b)*(a+b)

Agora vamos desenvolver o produto, utilizando a propriedade que já conhecemos do quadrado da soma:

(a+b)³ = (a+b)*(a+b)*(a+b) = (a+b)²*(a+b) = (a²+2*a*b+b²)*(a+b)

Então, vamos realizar as operações faltantes, dessa vez, omitindo a notação de * (multiplicação) para obter o resultado:

 (a²+2*a*b+b²)*(a+b) = a²a + a²b + 2aba + 2abb + b²a + b²b

Agora vamos reduzir os termos pela propriedade de comutatividade da multiplicação:

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Portanto, dizemos que o cubo da soma de dois termos é dada pela soma do cubo do primeiro termo, três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, três vezes o quadrado do segundo vezes o primeiro mais o cubo do segundo termo.

Vamos ver exemplos:

Exemplo 1) (a+4)³ = a³ + 3a²4 + 3a4² + 4³ = a³ + 12a² +  48a + 64

Exemplo 2) (1+b)³ = 1³ + 3*1²*b + 3*1*b² + b³ = b³ + 3b² + 3b + 1

Exemplo 3) (5+9)³ = 5³ + 3*5²*9 + 3*5*9² + 9³ = 125 + 675 + 1215 + 729 = 2744 = (14)³

Quinto caso

O quinto caso é semelhante ao quarto caso, mas agora iremos considerar o cubo da diferença de dois termos. Este produto notável está representado a seguir:

(a-b)³ = (a-b)*(a-b)*(a-b)

Assim como no caso anterior, o desenvolvimento do produto será realizado com a propriedade já apresentada do quadrado da diferença.

(a-b)³ = (a-b)(a-b)(a-b) = (a-b)²(a-b) = (a²-2ab+b²)(a-b)

Vamos nos valer da propriedade distributiva da multiplicação para obter o próximo passo:

(a²-2ab+b²)(a-b) = a²a – a²b – 2aba + 2abb + b²a – b²b

O resultado é obtido pela soma dos termos iguais segundo a propriedade comutativa da multiplicação:

(a-b)³ =  a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Vamos ver exemplos:

Exemplo 1) (a-2)³ = a³ – 3*a²*2 + 3*a*2² – 2³ = a³ – 6a² + 12a – 8

Exemplo 2) (3-b)³ = 3³ – 3*3²*b + 3*3*b² – b³ = -b³ + 9b² – 27b + 27

Exemplo 3) (5-4)³ = 5³ – 3*5²*4 + 3*5*4² – 4³ = 125 – 300 + 240 – 64 = 365 – 364 = 1 = (1)³

Luisa Boccardo Burini