Progressão Geométrica

O que é uma Progressão Geométrica?

Progressão geométrica (PG) é uma sequência de números que crescem ou decrescem segundo um fator multiplicativo. Ela pode ser representada pela razão q, o termo inicial a₁. O n-ésimo termo da PG é dado por

Dizemos que a PG é crescente quando a razão q é tal que q > 1 e decrescente quando 0 < q <1. Nomeamos oscilantes as PGs que possuem q < 0.

Uma propriedade bastante relevante da PG é que podemos obter os termos imediatamente antes e depois de um termo conhecido a partir da sua razão:

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo) Para uma PG de razão q = ½, iniciando em , quais são os primeiros 5 termos?

Os primeiros cinco termos são: 1, 0.5 , 0.25 , 0.125 , 0.625 ou então: 1, ½, ¼, ⅛, 1/16

Dizemos que esta é uma PG decrescente.

Exemplo) Para uma PG de razão q = 3 cujo terceiro termo é 27, quais são os termos que o antecede e sucede?

Soma da PG finita

Para obter a soma dos primeiros n termos da PG, fazemos

Exemplo) Calcule os primeiros 7 termos de uma PG de razão 2, cujo termo inicial é 1.

Utilizando a fórmula

Vamos confirmar a partir da soma de cada termo:

a₁ = 1
a₂ = 1 * 2¹ = 2
a₃ = 1 * 2² = 4
a₄ = 1 * 2³ = 8
a₅ = 1 * 2⁴ = 16
a₆ = 1 * 2⁵ = 32
a₇ = 1 * 2⁶ = 64
S₇ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

Exemplo) Calcule os primeiros 3 termos de uma PG de razão 1/3, cujo termo inicial é 3.

Vamos confirmar a partir da soma de cada termo

a₁ = 3
a₂ = 3 * (1/3)¹ = 1
a₃ = 3 * (1/3)² = 1/3
S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = 3 + 1 + 1/3 = 9/3 + 3/3 + 1/3 = 13/3

Soma da PG infinita

Calculamos a soma de uma progressão geométrica infinita quando a sua razão é do tipo 0 < q < 1, isto é, para uma PG decrescente, assim, podemos garantir que o resultado dela converge para um valor determinado.

Vamos ver abaixo um argumento geométrico da convergência do termo infinito ao zero exemplificado pela PG decrescente iniciando no termo de valor 1 com razão q = ½.

Vamos indicar a soma da PG infinita como

Calculando a soma da PG infinita para o exemplo acima (a₁ = q, q = 1/2), temos que

Geometricamente, confirmamos este resultado.

Exemplo) Qual é a soma infinita da Progressão Geométrica iniciada em 100 de razão q = ⅓?

Luisa Boccardo Burini