Função do 2º Grau

Uma Função do 2º Grau é a função cuja variável independente está em grau 2 em relação a variável dependente.

Matematicamente esta representação ocorre pela equação generalizada y(x) = ax² + bx + c, em que x é a variável independente, y é a variável dependente e a, b, c pertencem ao conjunto dos números Reais e a é necessariamente diferente de zero.

O comportamento da função de segundo grau é parabólico e pode variar em concavidade para cima ou para baixo se o coeficiente a for positivo ou negativo, respectivamente.

Vamos observar os gráficos que podemos construir em ambas configurações.

Ex: y(x) = 1x² – 5x + 6

Vamos analisar o comportamento desta função através do gráfico.

Vemos que ela possui concavidade para cima, pois a > 0 e consequentemente, esta função possui um mínimo definido. Vamos encontrá-lo.

Para isso, fazemos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da função, isto é, quando y(x) = 0.

Então, obteremos os valores de x que fazem y(x) = 0 O valor mínimo de y(x) ocorre no meio destas raízes, logo, precisamos calcular o x médio entre as raízes e obter o y(x) correspondente.

Agora vamos seguir estes passos para a equação do exemplo, em que

a = 1,  b = -5,   c = 6, encontrando ambos os valores de x₁ e x₂

Ao realizarmos as operações necessárias, descobriremos que x₁ = 3 e x₂ = 2 e x₁ + x₂ / 2 = 2,5.

Agora vamos calcular y (2,5) = 1 (2,5)² – 5 (2,5) + 6 = 24,75 é o mínimo da função de segundo grau.

Ex: y (x) = -1 x² – 10 x + 40

Nesse exemplo, percebemos que a concavidade​ ​para​ ​baixo​, isto é, a parábola possui um valor máximo​ definido​, mas não um valor mínimo definido pois o coeficiente do termo ao quadrado é menor que zero, a​ ​<​ ​0.

Como descobrir esse máximo?

Vamos avaliar primeiro as raízes da equação, obtendo assim 2 valores de​ ​x​ que satisfazem y​(x)​ ​=​ ​0​, uma vez que estamos trabalhando com uma função de segundo grau.

As raízes da equação podem ser obtidas através da fórmula de Bhaskara​. Com essa fórmula teremos os dois valores de x para os quais​ ​y​(x)​ ​=​ ​0​. Para obter o máximo, temos que calcular a média entre os valores de x, para a soma e subtração da fórmula e depois encontrar o valor de y​(x)​ ​correspondente. Agora vamos seguir estes passos para a equação do exemplo, em que a​ ​=​ ​-1​, b​ ​=​ ​-10,​ ​ ​ ​c​ ​=​ ​40,​ ​encontrando ambos os valores de x₁ e x₂

Aproximando o valor de √160 por 12,6 teremos os resultados para x₁ = 11, 3 e x₂ =− 1, 3 . A média destes valores será de , aproximadamente. 2 x +x 1 2 = 5.

Agora iremos fazer y​(5)​ para obter o valor máximo. ​ ​y​(5)​ ​=​ ​(​-1)​ ​5²​ ​-​ ​(​10​)​ ​5​ ​+​ ​40​ ​=​ ​-25​ ​-50​ ​+​ ​40​ ​=​ ​-35.

Máximos​ ​e​ ​Mínimos

Desta forma, podemos ver que para as funções de

1) Concavidade​ ​para​ ​cima:​ ​o mínimo é calculado como

2) Concavidade​ ​para​ ​baixo:​ ​o máximo é calculado como

Luisa Boccardo Burini