Expressões algébricas

O uso das expressões algébricas

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.

Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.

Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.

As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.

Expressão algébrica	Objeto matemático	Figura
A = b x h	Área do retângulo
A = b x h / 2	Área do triângulo
P = 4 a	Perímetro do quadrado

Elementos históricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.

Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo:

a = 7 + 5 + 4
b = 5 + 20 – 87
c = (6 + 8) – 10
d = (5 x 4) + 15

Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:

A = 2a + 7b
B = (3c + 4) – 5
C = 23c + 4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

1. Potenciação ou Radiciação
2. Multiplicação ou Divisão
3. Adição ou Subtração

Observações quanto à prioridade:

1. Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
2. A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
3. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.Exemplos:

1. Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim

P = 2(5) + 10
P = 10 + 10
P = 20

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

A = 2(9) + 10
A = 18 + 10
A = 28

Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.

2. Seja X = 4A + 2 + B – 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo: X = 4.(5) + 2 + 7 – 7
X = 20 + 2 – 0
X = 22

Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, é igual a 22.

3. Seja Y = 18 – C + 9 + D + 8C, onde C= -2 e D=1. Então: Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2)
Y = 18 + 2 + 9 + 1 -16
Y = 30 -16
Y = 14

Se C = -2 e D = 1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.

Monômios e polinômios

São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:

Nome	No. de termos	Exemplo
monômio	um	m(x,y) = 3 xy
binômio	dois	b(x,y) = 6 x2y – 7y
trinômio	três	f(x) = a x2 + bx + c
polinômio	vários	p(x)=aoxn + a1xn-1 + a2xn-2+ … + an-1x + an

Identificação das expressões algébricas

Muitas vezes as expressões algébricas aparecem na forma:

3x2y

onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:

p(x,y) = 3x2y

para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.

Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.

Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Tomando p(x,y)=3x2y, então para x=7 e y=2 temos que:

p(7,2) = 3 × 72 × 2 = 294

Se alterarmos os valores de x e de y para x= -1 e y=5, teremos outro valor numérico:
p(-1,5) = 3 × (-1)2 × 5 = 3 × 5 = 15

mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x= -7 e y=2, teremos:

p(7,2) = 3 × (-7)2 × 2 = 294

A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)

(+1)x(+1) = +1     (+1)÷(+1) = +1
(+1)x(-1) = -1     (+1)÷(-1) = -1
(-1)x(+1) = -1     (-1)÷(+1) = -1
(-1)x(-1) = +1     (-1)÷(-1) = +1

Regras de potenciação

Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:

Propriedades	Alguns exemplos
xo = 1 (x não nulo)	5o = 1
xm xn = xm+n	52 . 54 = 56
xm ym = (xy)m	52 32 = 152
xm ÷ xn = xm-n	520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m	52 ÷ 32 = (5/3)2
(xm)n = xmn	(53)2 = 1252 = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n	53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m = 1 ÷ xm	5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n	5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2

Eliminação de parênteses em Monômios

Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.

Exemplos:

A = -(4x) + (-7x) = -4x – 7x = -11x
B = -(4x) + (+7x) = -4x + 7x =   3x
C = +(4x) + (-7x) =  4x – 7x = – 3x
D = +(4x) + (+7x) =  4x + 7x =  11x

Operações com expressões algébricas de Monômios

1. Adição ou Subtração de Monômios

Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.

Exemplos:

A = -(4x) + (-7x) = -4x – 7x = -11x
B = -(4x) + (+7x) = -4x + 7x =   3x
C = +(4x) + (-7x) =  4x – 7x =  -3x
D = +(4x) + (+7x) =  4x + 7x =  11x

2. Multiplicação de Monômios

Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

A = -(4x2y).(-2xy) = +8 x3y2
B = -(4x2y).(+2xy) = -8 x3y2
C = +(4x2y).(-2xy) = -8 x3y2
D = +(4x2y).(+2xy) = +8 x3y2

3. Divisão de Monômios

Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

A = -(4x2y)÷(-2xy) =  2x
B = -(4x2y)÷(+2xy) = -2x
C = +(4x2y)÷(-2xy) = -2x
D = +(4x2y)÷(+2xy) =  2x

4. Potenciação de Monômios

Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

A = (+4x2y)3= 43 x2y x2y 2y = 256 x6 y3
B =(-4x2y)3 = -43x2y x2y x2y = -256×6 y3

Alguns Produtos notáveis

1. Quadrado da soma de dois termos

Sabemos que x2=x.x, y2=y.y, mas não é verdade que

x2 + y2 = (x+y)2

a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:

(x+y)2 = x2 + 2xy + y2

Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.

Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:

x + y X x + y ________________ x y + y2 x2 + x y ________________ x2 + 2xy + y2	Compare as operações	10 + 3 X 10 + 3 ________________ 30 + 9 100 + 30 ________________ 100 + 60 + 9

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

(x+y)2 = x2 + 2xy + y2

Exemplos:

(x + 8)2 = x2 + 2.x.8 + 82 = x2 + 16x + 64
(3k + y)2 = (3k)2 + 2.3k.y + y2 = 9k2 + 6ky + y2
(x/5 + 1)2 = x2/25 + 2x/5 + 1

Exercícios: Desenvolver as expressões:

(a + 8)2 =
(4y + 2)2 =
(9k/8 + 3)2 =

Pensando um pouco:

1. Se (x + 7)2 = x2 + [ ] + 49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?
2. Se (5a + [ ])2 = 25a2 + 30a + [ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
3. Se ([ ] + 9)2 = x2 + [ ] + 81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
4. Se (4b + [ ])2 = l6b2 + 36b + [ ], substitua os [ ] por algo coerente.
5. Se (c + 8)2 = c2 + [ ] + [ ], substitua os [ ] por algo coerente.

2. Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:

(x-y)2 = x2 – 2xy + y2

Exemplos:

(x – 4)2 = x2 – 2.x.4 + 42 = x2 – 8x + 16
(9 – k)2 = 92 – 2.9.k + k2 = 81 – 18k + k2
(2/y – x)2 = (2/y)2 – 2.(2/y).x + x2

Exercícios: Complete o que falta.

(5x – 9)2 =
(k – 6s)2 =
(p – [ ])2 = p2 – 10p + [ ]

3. Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.

x + y X x - y ______________ -xy - y2 x2 + xy ______________ x2     - y2	Compare as operações	10 + 3 X 10 - 3 ______________ -30 - 9 100 + 30 ______________ 100     - 9

Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.

(x+y)(x-y) = x2 – y2

Exemplos:

(x + 2)(x – 2) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4
(g – 8)(g + 8) = g2 – 8g + 8g – 64 = g2- 64
(k – 20)(k + 20) = k2 – 400
(9 – z)(9 + z) = 81 – z2

Exercícios: Complete as expressões:

(6 – m)(6 + m) =
(b + 6)(b – 6) =
(6 + b)(b – 6) =
(6 + b)(6 – b) =
(100 – u)(100 + u) =
(u – 100)(100 + u) =

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br