Critérios de divisibilidade

Sobre a divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.

Alguns critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

ivisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592	Número sem o último algarismo
-16	Dobro de 8 (último algarismo)
16576	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657	Número sem o último algarismo
-12	Dobro de 6 (último algarismo)
1645	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164	Número sem o último algarismo
-10	Dobro de 5 (último algarismo)
154	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15	Número sem o último algarismo
-8	Dobro de 4 (último algarismo)
7	Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426	Número sem o último algarismo
-2	Dobro do último algarismo
424	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

42	Número sem o último algarismo
-8	Dobro do último algarismo
34	Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

Número	1	3	5	3
Ordem	ímpar	par	ímpar	par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

Número	2	9	4	5	8
Ordem	ímpar	par	ímpar	par	ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número	2	5	4	3
Ordem	ímpar	par	ímpar	par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

Número	6	5	2	0	8
Ordem	ímpar	par	ímpar	par	ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11

Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

1656	Número sem o último algarismo
+8	Quatro vezes o último algarismo
1664	Soma

Repete-se o processo com este último número.

166	Número sem o último algarismo
+16	Quatro vezes o último algarismo
182	Soma

Repete-se o processo com este último número.

18	Número sem o último algarismo
+8	Quatro vezes o último algarismo
26	Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Divisibilidade por 16

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

1859	Número sem o último algarismo
-40	Cinco vezes o último algarismo
1819	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

181	Número sem o último algarismo
-45	Cinco vezes o último algarismo
136	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

13	Número sem o último algarismo
-30	Cinco vezes o último algarismo
-17	Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

16592	Número sem o último algarismo
+16	Dobro do último algarismo
16608	Soma

Repete-se o processo com este último número.

1660	Número sem o último algarismo
+16	Dobro do último algarismo
1676	Soma

Repete-se o processo com este último número.

167	Número sem o último algarismo
+12	Dobro do último algarismo
179	Soma

Repete-se o processo com este último número.

17	Número sem o último algarismo
+18	Dobro do último algarismo
35	Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

427	Número sem o último algarismo
+10	Dobro do último algarismo
437	Soma

Repete-se o processo com este último número.

43	Número sem o último algarismo
+14	Dobro do último algarismo
57	Soma

Repete-se o processo com este último número.

5	Número sem o último algarismo
+14	Dobro do último algarismo
19	Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

18590	Número sem o último algarismo
+63	Dobro do último algarismo
18653	Soma

Repete-se o processo com este último número.

1865	Número sem o último algarismo
+21	Dobro do último algarismo
1886	Soma

Repete-se o processo com este último número.

188	Número sem o último algarismo
+42	Dobro do último algarismo
230	Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?

859	Número sem o último algarismo
-24	Dobro do último algarismo
835	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

83	Número sem o último algarismo
-15	Dobro do último algarismo
68	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

6	Número sem o último algarismo
-24	Dobro do último algarismo
-18	Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?

859	Número sem o último algarismo
+24	Triplo do último algarismo
883	Soma

Repete-se o processo com este último número.

88	Número sem o último algarismo
+9	Triplo do último algarismo
97	Soma

Repete-se o processo com este último número.

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Divisibilidade por 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?

859	Número sem o último algarismo
+40	Cinco vezes o último algarismo
899	Soma

Repete-se o processo com este último número.

89	Número sem o último algarismo
+45	Cinco vezes o último algarismo
134	Soma

Repete-se o processo com este último número.

13	Número sem o último algarismo
+20	Cinco vezes o último algarismo
33	Soma

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.

por 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,e 13

2

Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).
Por exemplo são divisíveis por 2 : 46, 188, 234…

3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é 0, 3, 6 ou 9 (ou então noves fora dá 0, 3 ou 6).
Por exemplo: 147 – 1+4+7= 12 (Pode-se somar novamente ) e 1+2= 3.

167265 – 1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27 e 2 + 7 = 9 é divisível.

65926 – 6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28 e 2 + 8 = 10 não é divisível por 3.

4

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível or 4.

Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4 – deve ser um número par e a sua metade continuar par.

Por exemplo: 758836 – 36 é par e metade de 36 é 18 que é par então o número é divisível por 4.

9881654 – 54 é par mas metade não é o número não é divisível por 4.

5

Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

6

Se um número for divisível por 2 e por 3 é divisível por 6.

7

Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número . Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.
Por exemplo:
245 – 5 x 2 = 10 e depois 24 – 10 = 14 então é divisível por 7.
1589 – 9 x 2 = 18 e 158 – 18 = 140 então é divisível por 7 .

204568 – 8 x 2 = 16 e 20456 – 16 = 20440 e aplicando novamente
0 x 2 = 0 2044 – 0 = 2044 e novamente
4 x 2 = 8 204 – 8 = 196 e novamente
6 x 2 = 12 19 – 12 = 7
então é divisível por 7.

8

Se os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 então o número é divisível por 8. (3 últimos pares , a sua metade par e novamente metade par).

772673290168 – 168 é par , 168:2=84 é par e 84:2= 32 é par então o número inicial é divisível por 8.

9

Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove ( ou fazer os noves fora e dar zero).

Por exemplo. 3464514 – 3+4+6+4+5+1+4=27 e 2 + 7 = 9 então é divisível por 9

4524562 – 4+5+2+4+5+6+2 =28 e 2 + 8= 10 então não é divisível por 9.

10

Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.

11

Soma o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo ….
Soma o 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo ….

Se a diferença for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11.

Por exemplo: 94186565 – 9 + 1 + 6 + 6 = 22
4 + 8 + 5 + 5 = 22 e 22 – 22 = 0 então o número é divisível por 11.

4723866862 – 4+2+8+6+6 = 26
7+3+6+8+2 = 26 e 26-26 = 0 então o número é divisível por 11

12

Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12.

13

Multiplica o algarismo das unidades por 9 e subtrai-o do restante número. Se o resultado for múltiplo de 13 então o número inicial é múltiplo de 13.

Por exemplo:

1105 – 5 x9=45 e 110 – 45 = 65 ( se ainda tiveres dúvidas podes fazer novamente…. ) que é múltiplo de 13 – 13×5= 65

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br/www.malhatlantica.pt