Movimento Harmônico Simples

Visão Geral do Movimento Harmônico Simples – MHS

No estudo de oscilações, podemos identificar diferentes padrões de comportamento, de modo que o movimento analisado pode seguir determinados parâmetros constantes ou variar de forma indefinida. Entretanto, é interessante para nós analisar um caso específico de movimento oscilatório, no qual este se repete em intervalos regulares e bem definidos, o chamado movimento harmônico simples ou MHS.

Ao se tratar de oscilações, uma das principais grandezas relacionadas a este movimento é a frequência, que indica o número de oscilações por segundo. A frequência é medida em Hertz (Hz), unidade padrão no Sistema Internacional (SI). Isto significa que

1 hertz = 1 oscilação por segundo

Diretamente ligado com a frequência, o período de um movimento oscilatório indica o tempo necessário para se completar um ciclo completo:

Onde,

T é o período de oscilações e
f é a frequência de oscilações.

Como podemos observar na equação (1), o período é o inverso da frequência e sua unidade é segundo (s).

Podemos analisar a frequência em termos angulares também. A chamada frequência angular indica a tacha de oscilações em radianos por segundo (rad/s) e pode ser calculada através da expressão:

Por fim, é cabível também definir a equação que expressa a aceleração do MHS, que também será útil para nós adiante:

Onde,

ω é a frequência angular do sistema e
x é o deslocamento da partícula

Cabe ressaltar que na expressão (3), o sinal da aceleração é negativo devido ao fato de o movimento harmônico possuir uma força restauradora, que atua de modo a garantir que as oscilações continuem. Assim pode-se observar que quando o deslocamento está passando pelo maior valor positivo, a aceleração possui o maior valor negativo e vice-versa.

O sistema massa-mola

Uma das formas mais comuns de se estudar MHS é a partir do sistema massa-mola, que constitui o chamado oscilador harmônico linear simples (OHS). A Figura 1 ilustra o funcionamento de um sistema massa mola.

Com base nisto, podemos deduzir a primeira equação para o OHS, sabendo que a aceleração do movimento harmônico é dada pela equação (3), podemos aplica-la à segunda lei de Newton, o que resulta em:

Podemos substituir, no sistema massa-mola, o termo  por k, a constante elástica da mola, assim:

Além da equação (5), podemos utilizar a equação (4) para escrever a frequência angular de uma forma alternativa a representada anteriormente, isolando ω chegamos em:

Da mesma forma, podemos rescrever a equação (6) em termos do período das oscilações, visto que a frequência está diretamente ligada com o período segundo a equação (1):

Exemplo 1

Um bloco de massa 500 g está preso a uma mola de constante elástica , formando um sistema massa-mola como o da Figura 1. O bloco então é puxado por uma superfície sem atrito até uma distância de 10 cm a partir da posição de equilíbrio (x = 0) e é liberado no instante t =0. Com base nestas informações calcule:

a) A frequência angular, a frequência e o período do movimento;

Podemos calcular a frequência angular a partir da equação (6), visto que conhecemos o valor da massa do bloco e a constante elástica da mola.

Sabemos pela equação (2) que a frequência angular está diretamente relacionada com a frequência do movimento, logo:

Por fim, utilizando a equação (1) podemos encontrar o período de oscilações:

b) A aceleração máxima do bloco;

A aceleração máxima do bloco é o valor correspondente para o máximo deslocamento do bloco. Se o bloco foi solto de uma distância de 10 cm da origem, a máxima distância que irá atingir durante as oscilações é 10 cm, visto que se trata de um sistema sem atrito e conservativo:

A energia do sistema massa-mola

Além das análises feitas anteriormente para o sistema massa-mola, podemos também estudar a forma como a energia deste sistema varia. Para oscilações como a do exemplo 1 no qual não há atrito que reduza as oscilações do bloco, teremos o chamado sistema conservativo. Isto significa que, para qualquer instante de tempo, a energia mecânica do sistema será sempre a mesma, visto que não há perda de energia.

Neste caso, em que estamos analisando um sistema massa-mola, a energia mecânica será dada pela soma da energia cinética do bloco com a energia potencial elástica da mola:

Sabendo que o valor de  será sempre o mesmo, uma queda de energia cinética do sistema resultará necessariamente em um aumento de energia potencial do sistema e vice-versa, de modo manter constante o valor da energia mecânica. Desta forma, as variáveis da equação (8) serão a velocidade do bloco v e a posição x associada à energia potencial.

Exemplo 2

Em um sistema massa-mola, um bloco de massa 20 kg, está preso a uma mola de constante elástica desconhecida, quando é solto, a uma distância de 15 cm da posição de equilíbrio a partir do repouso. Sabe-se que a frequência das oscilações do sistema é de 1,51 Hz. Com base nestas informações calcule:

a) A energia mecânica total do sistema;

Não conhecemos o valor da velocidade do bloco, mas sabemos que quando x = 15 cm (a amplitude máxima do sistema), a velocidade do bloco será nula (visto que ao atingir a amplitude máxima o bloco deixará de avançar para recuar para a origem), então podemos calcular a energia mecânica máxima quando a amplitude é máxima e consequentemente a velocidade é nula.

Entretanto, ainda não podemos calcular a energia mecânica do sistema porque não conhecemos a constante elástica da mola, mas a partir da frequência fornecida, podemos encontrar a frequência angular e consequentemente a constante elástica da mola.

Agora, utilizando a equação (8), chegamos em:

b) Qual a velocidade do bloco quando atingir o ponto de equilíbrio?

Sabemos que no ponto de equilíbrio, a posição x vale zero e também já conhecemos a energia mecânica do sistema, logo:

 O pêndulo simples

Um pêndulo simples é um sistema composto por uma partícula presa em uma das extremidades de um fio inextensível enquanto a outra extremidade se encontra fixa. Desta forma a partícula está livre para oscilar para esquerda ou para a direita, como ilustra a figura a seguir:

Para nós, é interessante analisar o período do pêndulo. Para isso, vamos assumir que as oscilações se limitam a pequenas amplitudes somente, assim o período do pêndulo simples será:

Onde,

L é o comprimento do fio e,
g é a aceleração da gravidade.

Repare que a massa da partícula presa ao fio não interfere no período de oscilações, que depende somente do comprimento do fio e do valor da gravidade.

Exemplo 3

Uma partícula de massa 2 Kg, presa a um fio inextensível de comprimento 2 metros, oscila de modo a forma um pêndulo simples como na Figura 2. Considere g = 9,8 m/s² e calcule:

a) O período das oscilações;

Para calcular o período, basta aplicar a equação (9):

b) a tensão no fio quando a partícula passa pelo ponto mais baixo da trajetória

Para calcular a tensão no fio, precisamos levar em conta a energia mecânica do sistema.

A energia mecânica na trajetória mais alta será dada somente pela energia potencial, visto que a velocidade neste ponto é nula. Da mesma forma, a energia mecânica no ponto mais baixo será dada somente pela energia cinética, visto que a altura é zero. Assim

No ponto mais baixo da trajetória, o peso da partícula se opõe a tração existente no fio e a aceleração presente no fio é a centrípeta, assim podemos utilizar a segunda lei de Newton para resolver o problema:

Lucas Cardoso Toniol