Física Moderna

Ondas Eletromagnéticas

As equações clássicas de Maxwell, que governam o campo eletromagnético, aplicadas a uma região do espaço onde não existem cargas livres nem correntes elétricas, admitem uma solução ondulatória, com o campo elétrico E e o campo magnético B variando harmonicamente, um perpendicular ao outro e ambos, perpendiculares à direção de propagação, definida pelo vetor c, que representa a velocidade da onda (Fig.1). O módulo da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo é tomado, por definição, como sendo exatamente:

c = 299.792.458 m/s

Se a direção de propagação da onda é a direção do eixo x, os módulos dos campos elétrico e magnético podem ser escritos:

E = E0> cos [ k ( x – ct ) ]

e

B = B0> cos [ k ( x – ct ) ]

onde k = 2 /  é o número de onda e , o comprimento de onda. As equações clássicas de Maxwell descrevem, portanto, a radiação eletromagnética como uma onda transversal. A Fig.1 representa uma onda plano-polarizada, isto é, todos os vetores E em todos os pontos do espaço pelos quais passa a onda são paralelos e estão no mesmo plano.

O mesmo vale para os vetores B, que estão num plano perpendicular. Como os planos de vibração dos campos elétrico e magnético são sempre perpendiculares, para caracterizar uma onda eletromagnética qualquer é usual especificar a direção do plano do campo elétrico e a direção de propagação da onda. Assim, define-se o plano de polarização de uma onda eletromagnética como o plano ao longo do qual oscila o campo elétrico. A luz proveniente de uma lâmpada incandescente, por exemplo, é não polarizada já que consiste de um grande número de ondas, cada uma vibrando segundo uma direção aleatória.

Polarização por Reflexão

O fenômeno de polarização de uma onda eletromagnética confirma não apenas o seu caráter de onda mas, ainda, o seu caráter de onda transversal.

Seja um raio de radiação eletromagnética não polarizada, proveniente de uma fonte qualquer, incidindo sobre a superfície de separação entre dois meios (Fig.2). O vetor campo elétrico em qualquer ponto pode ser decomposto em duas componentes perpendiculares entre si, representadas por p e s, a primeira no plano de incidência (plano dos raios incidente e refletido e da normal) e a segunda, perpendicular a esse plano. Para o vidro comum, assim como para outros materiais dielétricos, existe um ângulo de incidência, chamado ângulo de polarização ou ângulo de Brewster, para o qual a componente  não se reflete. Isso acontece quando i* + r* = 90º, ou seja, quando os raios refletido e refratado são ortogonais. Em outras palavras, quando a direção de propagação do raio refletido é idêntica à direção da componente  do raio refratado. Essa componente não pode aparecer no raio refletido porque, se assim fosse, ela teria caráter longitudinal, o que não pode ser para a radiação eletromagnética. O raio refletido, contendo apenas a componente , perpendicular ao plano da página, é plano-polarizado.

Se o ângulo de incidência i é tal que os raios refletido e refratado são ortogonais, isto é, se i* + r* = 90o, então, usando a lei de Snell:

n = sen i / sen r

e as relações trigonométricas sen ( 90º –  ) = cos  e sen  / cos  = tg , o índice de refração da substância de que é constituído o meio 2 fica:

n = tg i

Esse resultado é a expressão matemática da lei de Brewster, que afirma que o ângulo de incidência para polarização completa é aquele cuja tangente é igual ao índice de refração do material refletor. O raio refletido é, portanto, plano-polarizado no plano perpendicular ao plano de incidência. Quando o ângulo de incidência coincide com o ângulo de polarização, a componente p é inteiramente refratada enquanto a componente s o é apenas parcialmente. O raio refratado é, portanto, parcialmente polarizado.

A polarização do raio refletido pode ser testada fazendo esse raio incidir numa segunda superfície refletora (Fig.3), com o plano de incidência dessa reflexão (plano V) fazendo um ângulo de 90o com o plano de incidência da primeira reflexão (plano H). Assim, o raio em questão incide na segunda superfície refletora de modo que, se ele fosse refletido (direção O’A), teria componentes apenas na direção de propagação do novo raio refletido. A radiação eletromagnética, assim, seria constituída exclusivamente de componente longitudinal. A completa ausência de radiação eletromagnética nessa direção claramente estabelece a completa impossibilidade de reflexão de qualquer componente longitudinal que pudesse haver na radiação. Assim, esse experimento estabelece que a radiação eletromagnética é uma onda transversal. Alternativamente, a análise do raio refletido pela primeira superfície refletora por meio de um polarizador, por exemplo, pode confirmar a sua polarização e, assim, confirmar, simultaneamente, o caráter transversal das ondas eletromagnéticas.

A polarização só pode ser explicada considerando-se a radiação eletromagnética como sendo uma onda transversal. Caso a radiação eletromagnética fosse constituída por partículas, sempre existiria uma imagem da fonte após a segunda reflexão, ou seja, sempre existiriam partículas percorrendo a trajetória completa B  O  O’  A.

Experimento Simples com o Efeito Fotoelétrico

O efeito fotoelétrico é o arrancamento de elétrons de um corpo, geralmente metálico, por efeito da incidência de radiação eletromagnética. As características do efeito fotoelétrico não podem ser explicadas considerando-se a radiação eletromagnética como sendo uma onda, em flagrante contradição com a explicação do fenômeno de polarização, por exemplo. Todas as características do efeito fotoelétrico podem ser explicadas considerando-se a radiação eletromagnética como um conjunto de partículas (chamadas fótons). A noção de força elétrica tem origem em experimentos simples. Por exemplo, se, num dia seco, um bastão de plástico é esfregado com pelo de animal e depois aproximado de alguns pedacinhos de papel, estes serão atraídos. Como resultado da fricção, o bastão fica eletrizado com carga elétrica negativa. A presença de carga elétrica em excesso no bastão (e em qualquer outro corpo) pode ser detectada por meio de um eletroscópio. Um eletroscópio pode ser construído com uma garrafa de vidro, uma rolha e uma haste metálica, onde uma pequena lâmina, também metálica, está articulada (Fig.4(a)). Se o bastão está carregado, encostando-o à haste, a pequena lâmina passa a formar um ângulo com ela (Fig.4(b)), assinalando a presença de carga no eletroscópio.

O sinal da carga em excesso no eletroscópio (e no bastão) pode ser determinado pelo efeito fotoelétrico. Se incide radiação eletromagnética de freqüência apropriada sobre a haste do eletroscópio e o ângulo formado pela pequena lâmina diminui, assinalando uma diminuição da carga em excesso no eletroscópio devido à emissão de elétrons causada pelo efeito fotoelétrico, a carga é negativa.

Características do Efeito Fotoelétrico

No dispositivo experimental que permite estudar as características do efeito fotoelétrico (Fig.5), entre as placas metálicas A e B existe uma diferença de potencial variável V igual a VA> – VB. Sem a incidência de radiação eletromagnética, não existe corrente elétrica no circuito. Com a incidência de radiação eletromagnética na placa B, mantida num potencial menor que a placa A, existe uma corrente elétrica que pode ser medida pelo galvanômetro. Mesmo que a placa B seja mantida num potencial maior que a placa A, ainda assim pode aparecer corrente elétrica no circuito. A corrente aparece por causa da radiação eletromagnética, que arranca elétrons da superfície da placa B.

Com a incidência de radiações eletromagnéticas de mesma freqüência, mas com intensidades diferentes, obtém-se um comportamento linear da corrente (i) em função da intensidade (I) da radiação (Fig.6). Isso significa que o número de elétrons arrancados é diretamente proporcional à intensidade da radiação eletromagnética incidente.

Com a incidência de radiações eletromagnéticas de mesma freqüência, mas com intensidades diferentes, obtém-se o comportamento mostrado na Fig.7 para a corrente (i) em função da diferença de potencial (V) entre as placas. Isso significa que, para uma dada intensidade da radiação incidente, existe corrente se V é positiva, ou seja, VA> VB, e também, existe corrente mesmo que V seja negativa, isto é, VA< VB, até certo valor – V0, ou seja, até que VA> – VB> = – V0> ou VA> + V0> = VB. A diferença de potencial V0 a partir da qual se interrompe a corrente se chama potencial de corte. Com essa diferença de potencial, os elétrons arrancados da placa B que têm a máxima energia cinética são desacelerados no seu movimento em direção à placa A e ficam em repouso momentâneo a apenas uma distância infinitesimal dessa placa. E como o trabalho realizado pelo campo elétrico que existe entre as placas sobre cada elétron que se desloca da placa B até a placa A é igual ao produto da carga do elétron pela diferença de potencial entre as placas, o teorema trabalho-energia cinética, expresso matematicamente por W = K, permite escrever:

– eV0> = 0 – KKMAX

ou seja, o potencial de corte V0 está associado à energia cinética máxima dos elétrons arrancados pelo efeito fotoelétrico (fotoelétrons) pela relação:

eV0> = KKMAX

Tomando radiações eletromagnéticas de diferentes freqüências obtém-se o comportamento mostrado na Fig.8 para o potencial de corte (V0) em função da freqüência da radiação (), independentemente da intensidade da radiação. Isso significa que a energia dos fotoelétrons é independente da intensidade da radiação eletromagnética incidente e depende, isso sim, da freqüência da radiação.

A freqüência mínima (0) da radiação eletromagnética para que exista o efeito fotoelétrico é chamada limiar vermelho do efeito fotoelétrico e depende da substância de que é feita a placa sobre a qual incide a radiação.

Finalmente, tomando radiações eletromagnéticas de diferentes freqüências e intensidades, nenhum retardo é observado entre o instante em que a radiação eletromagnética atinge a superfície da placa B e o instante em que os elétrons são arrancados.

Em resumo, as características do efeito fotoelétrico são as seguintes:

O número de elétrons arrancados é diretamente proporcional à intensidade da radiação eletromagnética incidente (Fig.6).

O potencial de corte é o mesmo qualquer que seja a intensidade da radiação eletromagnética incidente (Fig.7).

A energia dos elétrons arrancados depende da freqüência e não da intensidade da radiação eletromagnética incidente (Fig.8).

Não existe retardo entre o instante em que a radiação eletromagnética atinge a superfície da placa e o instante em que aparecem os elétrons arrancados.

Explicação Clássica do Efeito Fotoelétrico

A primeira característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que o número de elétrons arrancados é diretamente proporcional à intensidade da radiação eletromagnética incidente, pode ser explicado pela teoria eletromagnética clássica de Maxwell. A intensidade (I) de uma onda qualquer é definida como a quantidade de energia que passa, por unidade de tempo, através de uma superfície de área unitária perpendicular à direção de propagação da onda. Assim, como a energia absorvida pela placa por unidade de tempo aumenta com o aumento da intensidade da radiação eletromagnética incidente, aumenta também, por unidade de tempo, o número de elétrons que absorvem energia suficiente para escapar da placa. E como a corrente elétrica é a quantidade de carga que atravessa uma superfície de área unitária na unidade de tempo, com o aumento da intensidade da radiação aumenta a corrente no circuito.

A segunda característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que o potencial de corte tem o mesmo valor, independentemente da intensidade da radiação eletromagnética incidente, não pode ser explicado pela teoria eletromagnética clássica. Como o potencial de corte V0> está associado à energia cinética máxima dos elétrons arrancados pelo efeito fotoelétrico pela relação KMAX> = eV0, a energia cinética máxima dos fotoelétrons não pode depender da intensidade da radiação eletromagnética. Mas, é justamente o contrário o que diz a teoria clássica, já que, segundo ela, quanto maior a intensidade da radiação, maior deveria ser a energia absorvida pelos elétrons e, então, maior sua energia cinética máxima depois de serem arrancados.

Note-se, de passagem, que o outro resultado mostrado na Fig.7, ou seja, o fato de que, para um dado V, a corrente é maior quando a intensidade da radiação eletromagnética é mais intensa, já foi discutido acima e pode ser explicado pela teoria clássica.

Um sólido metálico é formado a partir de átomos com alguns elétrons fracamente ligados nas camadas mais externas, elétrons esses que passam a se mover por todo o sólido quando de sua formação. Assim, um sólido metálico é constituído por uma rede ordenada de íons positivos que são mantidos juntos por uma espécie de gás de elétrons livres. A terceira característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que a energia dos elétrons arrancados depende da freqüência e não da intensidade da radiação eletromagnética incidente, também não pode ser explicada pela teoria eletromagnética clássica de Maxwell, quer esses elétrons arrancados pertencessem ao gás de elétrons livres da placa metálica, quer pertencessem aos íons da rede ordenada subjacente.

Se a direção de propagação da onda eletromagnética é a direção do eixo x, o módulo do campo elétrico pode ser escrito, como já discutido :

E = E0> cos [ k ( x – ct ) ]

Levando em conta que k = 2 /  e n = c, onde n é a freqüência da radiação eletromagnética, e tomando apenas a dependência temporal do campo elétrico, vem:

E = E0> cos ( 2 t )

Agora, se os elétrons de um metal podem ser considerados como se movendo livremente, sua energia cinética (para uma dada intensidade da radiação eletromagnética) deveria diminuir ao se aumentar a freqüência da radiação eletromagnética. De fato, se um elétron livre fica sob o efeito do campo elétrico de uma onda eletromagnética, a equação que descreve o seu movimento, dada pela segunda lei de Newton, é:

ma = eE = eE0> cos ( 2 t )

de modo que a sua velocidade e sua energia cinética ficam, respectivamente:

v = [ eE0> / 2m ] sen ( 2 t )

e:

K = ½ mv2> = [ e2E02> / 8m22> ] sen2> ( 2 t )

Nesta expressão, o fator multiplicativo [e2E02> / 8m22> ] tem o quadrado da freqüência no denominador. Portanto, segundo a teoria eletromagnética clássica de Maxwell, a energia cinética dos elétrons livres não aumenta com o aumento da freqüência da radiação eletromagnética, mas, pelo contrário, diminui.

Por outro lado, esse resultado poderia estar mostrando, realmente, que o efeito fotoelétrico não envolve os elétrons livres, ou seja, esse resultado poderia estar mostrando que o efeito fotoelétrico envolve os elétrons ligados aos íons da rede cristalina da placa sobre a qual incide a radiação eletromagnética. Para mostrar que esse também não é o caso, considere-se que os elétrons ligados podem oscilar harmonicamente. Assim, as forças que ligam esses elétrons ao resto do material crescem linearmente com suas distâncias de separação aos respectivos pontos de equilíbrio no resto do material. Então, sob o efeito do campo elétrico da radiação eletromagnética incidente, que varia harmonicamente com o tempo, esses elétrons devem oscilar com uma amplitude que é tanto maior quanto mais próxima estiver a freqüência com que o campo varia harmonicamente da freqüência natural de oscilação dos elétrons ligados. E seria de se esperar um comportamento ressonante do potencial de corte em função da freqüência da radiação eletromagnética incidente (Fig.9). Dessa forma, a teoria clássica não pode explicar a dependência de V0 com n nem considerando que o efeito fotoelétrico ocorre com os elétrons livres da placa nem considerando que ocorre com os elétrons ligados.

A quarta característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que não existe retardo entre o instante em que a radiação eletromagnética atinge a superfície da placa e o instante em que aparecem os elétrons arrancados, independentemente da freqüência e da intensidade da radiação, é outra característica que a teoria clássica não explica.

Com efeito, segundo essa teoria, quando uma onda eletromagnética atravessa uma região da placa onde se encontra um elétron, este deveria oscilar com uma dada freqüência, movido pela força de interação com o campo elétrico variável da onda. Com o passar do tempo, e por efeito da transferência de energia da onda para o elétron, a amplitude das oscilações do elétron deveria crescer mais e mais até o ponto em que ele se desligaria do material e seria ejetado. Para radiações eletromagnéticas pouco intensas, ou seja, com pequena densidade de energia, o cálculo clássico do tempo que deveria durar tal processo de arrancamento pode dar como resultado minutos ou horas.

Explicação Quântica do Efeito Fotoelétrico

Todas as características do efeito fotoelétrico podem ser explicadas considerando-se a radiação eletromagnética não como uma onda, mas como um conjunto de partículas, chamadas fótons, cada qual com uma energia dada por:

E = h

onde  é a freqüência da radiação eletromagnética e h, uma constante universal, conhecida como constante de Planck:

h = 6,6261 x 10 -34> Js = 4,1357 x 10 -15> eVs

Eventualmente se usa a constante  (leia-se agá cortado), dada por:

 = h/2 = 1,0546 x 10 -34> Js = 6,5822 x 10 -16> eVs

Quando a radiação eletromagnética de freqüência n atinge a placa em questão, os fótons associados à radiação interagem com os elétrons da placa. Cada elétron que absorve um fóton ganha uma energia hn e se for arrancado, a máxima energia cinética que ele pode ter, pelo princípio de conservação da energia, é dada por:

K MAX = h – 

onde , chamada função trabalho e característica da substância que constitui a placa, representa a energia necessária para arrancar um elétron da superfície da placa.

A primeira característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que o número de elétrons arrancados é diretamente proporcional à intensidade da radiação eletromagnética incidente na placa, para uma dada freqüência (Fig.6), pode ser explicada facilmente pela teoria quântica. Como já foi dito, a intensidade (I) de uma onda qualquer é definida como a quantidade de energia que passa, por unidade de tempo, através de uma superfície de área unitária perpendicular à direção de propagação da onda. Então, a intensidade da radiação eletromagnética de freqüência n deve ser dada por:

I = N h

onde N representa o número de fótons que cruzam por unidade de tempo uma superfície de área unitária perpendicular à direção de propagação da radiação. Um aumento na intensidade da radiação eletromagnética implica um aumento no número de fótons e daí, um aumento no número de interações desses fótons com os elétrons da placa e, portanto, um aumento no número de elétrons arrancados.

A segunda característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que o potencial de corte tem o mesmo valor, independentemente da intensidade da radiação eletromagnética incidente (Fig.7), pode ser explicada pela teoria quântica considerando-se que a corrente fotoelétrica se interrompe quando o potencial de corte é tal que eV0 = KMAX. Então:

eV0 = h – 

Dessa expressão se conclui que, para uma dada substância na placa ( dada) e uma dada freqüência da radiação incidente, o potencial de corte não depende da intensidade da radiação, isto é, do número de fótons que incidem na placa por unidade de tempo e por unidade de área.

Por outro lado, quanto mais profundamente no interior da placa se encontra o elétron que vai ser arrancado, menor será a sua energia cinética ao sair dela já que a energia de cada fóton absorvido fica repartida entre o elétron arrancado e os outros elétrons e átomos que constituem a placa considerada. Assim, para uma dada diferença de potencial V negativa entre as placas (ou seja, VA< VB), apenas os elétrons que são arrancados da placa B com uma energia cinética maior que eV chegam à placa A e contam para a corrente elétrica do circuito. Então, com a diminuição da diferença de potencial entre as placas, isto é, para V cada vez mais negativa, menos elétrons alcançam a placa A e menor é a corrente elétrica no circuito.

A terceira característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que a energia dos elétrons arrancados depende da freqüência e não da intensidade da radiação eletromagnética incidente, pode ser explicada pela teoria quântica exatamente pela afirmação de que a radiação eletromagnética deve ser considerada como um conjunto de partículas (os fótons), cada qual com uma energia dada por E = hn, onde n é a freqüência da radiação eletromagnética.

Para radiações eletromagnéticas com dada freqüência, a máxima energia cinética que cada elétron arrancado pode ter corresponde à situação em que o elétron é arrancado da superfície da placa, de modo que toda a energia do fóton é absorvida por ele. Para uma dada substância, o valor mínimo n0 para a freqüência da radiação eletromagnética que produz o efeito fotoelétrico é dada por h0 = , correspondendo à situação em que o elétron é arrancado da superfície da placa e sua energia cinética seja nula. Daí:

0 =  / h

Essa freqüência é chamada limiar vermelho do efeito fotoelétrico. Como nos metais f vale no mínimo cerca de 2 eV, ou seja, cerca de 3,2 x 10-19> J, o efeito fotoelétrico nos metais só é possível com radiações eletromagnéticas de freqüências maiores que a freqüência:

  ( 3,2 x 10-19> J ) / ( 6,6 x 10-34> Js )  4,8 x 1014> Hz

ou cujos comprimentos de onda sejam menores que o comprimento de onda:

 = c / n  ( 3,0 x 108> m/s ) / ( 4,8 x 1014> Hz )  6,2 x 10-7> m

Essa freqüência e esse comprimento de onda correspondem à radiação eletromagnética da parte visível do espectro, mais precisamente, àquela radiação que, ao olho humano, parece alaranjada.

A quarta característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que não existe retardo entre o instante em que a radiação eletromagnética atinge a superfície da placa e o instante em que aparecem os elétrons arrancados, independentemente da freqüência e da intensidade da radiação, pode ser explicada pela teoria quântica. O conceito de partícula está associado à transferência instantânea de energia de um ente físico a outro, numa colisão. Assim, considerando os fótons como partículas, a teoria quântica garante que existe uma transferência de energia instantânea aos elétrons, que também são considerados como partículas.

A teoria quântica da radiação eletromagnética explica muito bem as características do efeito fotoelétrico. A radiação eletromagnética, que se propaga no espaço como uma onda, no efeito fotoelétrico manifesta propriedades inerentes a partículas. Com igual clareza, as propriedades corpusculares (quânticas) da radiação eletromagnética se manifestam no efeito Compton.

Efeito Compton

O efeito Compton é a variação do comprimento de onda da radiação eletromagnética dispersada por elétrons livres.

No dispositivo experimental que permite estudar as características do efeito Compton (Fig.10), raios x gerados em um tubo de raios catódicos passam por um filtro que separa, do conjunto de radiações eletromagnéticas produzidas, a radiação com um determinado comprimento de onda, que é dispersada por uma certa amostra. Um detetor apropriado analisa a radiação espalhada pela amostra em função do ângulo a. Normalmente, o funcionamento do detetor se baseia no fenômeno de difração de Bragg pelos átomos de um sólido cristalino. A difração de Bragg acontece para radiações com comprimentos de onda menores ou da ordem de 10-10> m, que é a ordem de grandeza da distância de separação entre os átomos do sólido cristalino. No espectro eletromagnético, os raios x têm comprimento de onda dessa ordem de grandeza e justamente por isso eles são usados nos experimentos de espalhamento Compton.

Estudando-se a dispersão dos raios x pela amostra observa-se que a radiação espalhada consiste de radiação com o comprimento de onda original e de radiação com comprimento de onda maior que o original, que a diferença entre esses dois comprimentos de onda é tanto maior quanto maior é o ângulo de espalhamento a e que tal diferença é independente da substância que constitui a amostra.

Explicação Clássica do Efeito Compton

Segundo a teoria eletromagnética clássica de Maxwell, a radiação eletromagnética é uma onda transversal, com um campo elétrico E e um campo magnético B variando harmonicamente, um perpendicular ao outro e ambos, perpendiculares à direção de propagação. A componente de campo elétrico da radiação eletromagnética, oscilando com a freqüência da radiação, ao interagir com os elétrons livres da amostra, deveria faze-los oscilar com a mesma freqüência. Como qualquer partícula carregada em movimento acelerado emite radiação eletromagnética, estes elétrons oscilantes deveriam emitir radiação eletromagnética com a freqüência do seu movimento, ou seja, com a mesma freqüência da radiação incidente original e isso independentemente do ângulo de dispersão. Portanto, a teoria clássica não pode explicar as características do efeito Compton.

Explicação Quântica do Efeito Compton

As características do efeito Compton podem ser explicadas considerando-se a radiação eletromagnética como um conjunto de partículas (os fótons), cada qual com uma energia E = hn, onde n é a freqüência da radiação eletromagnética e h, a constante de Planck. Assim, no efeito Compton, a interação da radiação eletromagnética com cada elétron livre da amostra se dá através de um processo elementar de colisão entre um fóton e um desses elétrons. Na colisão, o elétron absorve parte da energia do fóton e este, por conseguinte, passa a ter uma freqüência menor e, portanto, um comprimento de onda maior.
Pela teoria da relatividade especial de Einstein, a energia E, o módulo da quantidade de movimento p e a massa de repouso m de uma partícula, isto é, a massa da partícula medida no referencial onde ela está em repouso, estão relacionadas pela expressão:

E2> = p2c2> + m2c4

Para um fóton, tomado como uma partícula com massa de repouso nula, vem:

E = pc

Observe-se, de passagem, que esta expressão é idêntica àquela prevista pela teoria eletromagnética clássica de Maxwell para uma onda eletromagnética onde E e p representam, respectivamente, a energia e o módulo da quantidade de movimento associadas à onda em questão. Aqui, c representa o módulo da velocidade de propagação da radiação eletromagnética no vácuo.

Seja, então, o processo elementar de colisão de um fóton com um elétron, processo este observado no referencial em que o elétron está inicialmente em repouso. Nesse referencial, seja p1> a quantidade de movimento do fóton (incidente) antes da colisão, p2, a quantidade de movimento do fóton (espalhado) depois da colisão e pe, a quantidade de movimento do elétron depois da colisão (Fig.11). Pelo princípio de conservação da quantidade de movimento:

p2> + pe> = p1

Passando o termo p2> para o lado direito da igualdade e tomando o quadrado do resultado vem:

pe> 2= p1> 2> + p1> 2> – 2p1> p2 cos 

Pelo princípio de conservação da energia:

p1c + mc2> = p2c + [ pe2c2> + m2c4> ]1/2

Passando o termo p2c para o lado esquerdo da igualdade e tomando o quadrado do resultado, vem:

p12c2> + m2c4> + p22c2> + 2p1mc3> – 2p1p2c2> – 2mp2c3> = pe2c2> + m2c4

ou:

p12> + p22> + 2p1mc – 2p1p2> – 2mp2c = pe2

Agora, substituindo o termo pe2> que aparece nesta última expressão pelo seu valor dado na expressão da conservação da quantidade de movimento, vem:

p12> + p22> + 2p1mc – 2p1p2> – 2mp2c = p12> + p22> – 2p1p2> cos 

ou:

p1mc – p1p2> – mp2c = – p1p2> cos 

Passando o termo -p1p2> para o lado direito da igualdade e dividindo o resultado por mcp1p2, tem-se:

1 / p2> – 1 / p1> = (1 / mc) [ 1 – cos  ]

Finalmente, levando em conta que, para o fóton, E = pc, E = hn e ln = c, vem:

l2 – l1 = ( h / mc ) [ 1 – cos a ]

Esta expressão dá a diferença entre os comprimentos de onda dos fótons incidente e espalhado ou, o que dá no mesmo, a diferença entre os comprimentos de onda das radiações eletromagnéticas incidente e espalhada, em função do ângulo de espalhamento. Observe-se que a diferença entre os comprimentos de onda não depende do comprimento de onda da radiação incidente. A grandeza h / mc é chamada comprimento de onda Compton do elétron. Com os valores h = 6,63 x 10-34> Js, m = 9,11 x 10-31> kg e c = 3,00 x 108> m/s, tem-se:

C> = h / mc = 2,43 x 10-12> m

Com os valores das constantes físicas dadas acima e levando em conta que:

1 J = 6,24 x 1018> eV

pode-se calcular a energia de um fóton com um comprimento de onda  ~ 10-10> m, resultando:

E = hn = hc / l = 1,24 x 104> eV

Esta energia é muito maior do que a energia de ligação dos elétrons de valência nos átomos que constituem a amostra dispersora, que é de alguns elétrons-volt. Portanto, pode-se afirmar que, nas condições do experimento com raios x, o efeito Compton é a variação do comprimento de onda da radiação eletromagnética dispersada por elétrons livres. É por isso, também, que a diferença 2> – 1> não depende de nenhuma característica da substância que compõe a amostra dispersora.

Experimento de Thomson

Um tubo de raios catódicos é um tubo de vidro ou quartzo fechado, contendo, no seu interior, um gás a baixa pressão, e com eletrodos em suas extremidades. Com uma diferença de potencial de vários milhares de volts entre o eletrodo positivo (ânodo) e o eletrodo negativo (cátodo) acontece uma descarga elétrica através do gás.

O experimento de Thomson, realizado com um tubo de raios catódicos (Fig.12), permite medir a razão carga/massa do elétron. Do filamento C, mantido a alta temperatura pela corrente gerada pela diferença de potencial V1, são emitidos elétrons (emissão termoiônica). Esses elétrons são acelerados desde o filamento C até a placa colimadora A pela diferença de potencial V2. Passando pela placa colimadora, os elétrons entram numa região de campo elétrico E e campo magnético B, perpendiculares entre si e à trajetória inicial dos elétrons, e daí vão ao anteparo fluorescente S, onde produzem pontos luminosos visíveis. Para que os elétrons não sejam desviados dessa trajetória por colisões com as moléculas de ar no interior da ampola, este é mantido em alto vácuo.

O campo elétrico E tende a desviar os elétrons, cuja carga é negativa, para cima, com uma força de módulo eE, e o campo magnético B tende a desviar os elétrons para baixo, com uma força de módulo evB, onde e é o módulo da carga dos elétrons e v, o módulo da sua velocidade. Para uma dada velocidade dos elétrons, os valores de E e B podem ser ajustados de modo que:

eE = evB

ou seja, com a força elétrica sobre os elétrons equilibrando a força magnética. Com isso, os elétrons se deslocam em linha reta com velocidade horizontal de módulo v, desde a sua fonte C até o anteparo S, onde produzem um ponto luminoso. Assim, o módulo da velocidade horizontal dos elétrons pode ser calculado a partir dos valores conhecidos de E e B:

v = E / B

Thomson observou, originalmente, a posição do ponto luminoso no anteparo fluorescente com E e B nulos. Então, com um campo elétrico E uniforme, fixo e não nulo, observou a nova posição do ponto luminoso no anteparo e mediu a deflexão d3 resultante. Finalmente, ajustou a intensidade do campo magnético B para que o ponto luminoso voltasse a sua posição original, com o que pode determinar o módulo da velocidade horizontal.

Como a força peso dos elétrons pode ser desprezada, na região do campo elétrico E uniforme, fixo e não nulo, que origina a deflexão d3, sobre os elétrons atua apenas a força elétrica, que é vertical, está dirigida de baixo para cima e tem módulo eE constante (porque E é uniforme), ou seja, o movimento dos elétrons nessa região é um movimento bidimensional, composto de um MRU horizontal e um MRUV vertical. A tangente trigonométrica do angulo q de deflexão pode ser calculada por:

tg  = d3> / d2> = vY> / v

onde vY> representa o módulo da componente vertical da velocidade dos elétrons, componente essa que eles adquirem ao passar pela região de campo E. Como o movimento horizontal dos elétrons é um MRU, o tempo que eles levam para percorrer a distância d1é t = d1> / v. Como o movimento vertical dos elétrons é um MRUV, com aceleração de módulo constante a = eE / m, onde m representa a massa, durante o tempo t esses elétrons adquirem uma velocidade vertical de módulo:

vY> = at = ( eE / m )( d1> / v) = eEd1> / mv

Então, com essa expressão de vy na equação anterior, temos:

e / m = d3v2> / d1d2E

Assim, com os valores ajustados de E e B, determina-se v. Medindo-se d1, d2> e d3> e usando os valores de E e v, determina-se a razão carga/massa do elétron.

O desvio do ponto luminoso no anteparo fluorescente quando o campo elétrico passa de E = 0 para E  0 só pode ser explicado se os raios catódicos têm carga elétrica (negativa). E como a carga elétrica só pode ser atribuída a partículas, a experiência de Thomson mostra que os elétrons são partículas.

Difração de Bragg

Numa rede cristalina, os átomos (ou moléculas) estão regularmente espaçados a distâncias da ordem de 10-10 m (Fig.13(a)). Esses átomos (ou moléculas) podem servir de centros espalhadores para raios x e raios g, que são radiações eletromagnéticas com comprimentos de onda da mesma ordem de grandeza dessas distâncias. Quando um cristal é atravessado por raios x ou raios , os raios espalhados têm um padrão de intensidade que depende da interferência das ondas espalhadas em cada átomo do cristal e de um fator característico dos átomos.

Num cristal formado por vários tipos de átomos, cada tipo contribui de modo diferente para o espalhamento.

Seja um cristal cúbico formado por átomos de um tipo apenas e com um átomo em cada vértice da estrutura cristalina (Fig.13(b), onde estão representados três planos paralelos). Os átomos da estrutura cristalina definem uma série de conjuntos de planos paralelos igualmente espaçados. Na Fig.13(b) está representado, além dos conjuntos de planos paralelos (em preto) que definem a estrutura cúbica, um outro conjunto de planos paralelos (em rosa) dentre os muitos outros possíveis. Seja uma onda plana, de comprimento de onda l, incidente sobre um conjunto de planos paralelos separados de uma distância d (Fig.14).

Na figura estão representados os raios incidentes R1 e R2, associados à onda plana em questão, os planos AA’ e BB’, pertencentes ao conjunto de planos considerados, e o ângulo  entre cada raio da onda plana considerada e cada plano do conjunto considerado. As ondas espalhadas interferem construtivamente produzindo um máximo de intensidade na direção dos raios difratados R1’ e R2’ se a sua diferença de percurso for igual a um número inteiro de comprimentos de onda:

2d sen  = n 

onde n = 1, 2, 3, … Esta é a expressão matemática da lei de Bragg. Observe-se, de passagem, que os valores de n estão limitados pela condição sen  <1.

Embora o argumento tenha sido levado a cabo com os planos AA’ e BB’, todos os outros planos do conjunto de planos paralelos considerado também contribuem, dando lugar a um máximo muito intenso.
Para radiações com um dado comprimento de onda e para um dado conjunto de planos paralelos, isto é, para uma dada distância d, a variação do ângulo  (Fig.15) produz direções alternadas de máximos e mínimos de intensidade para a radiação espalhada, correspondentes à interferência construtiva e á interferência destrutiva respectivamente.

Experimento de Davisson e Germer

No experimento de C. Davisson e L. Germer (Fig.16), do filamento A, mantido a alta temperatura pela corrente gerada pela diferença de potencial V1, é emitido um feixe de elétrons (emissão termoiônica). O feixe de elétrons é acelerado desde o filamento A até a placa colimadora B pela diferença de potencial V2. Passando pela placa colimadora, o feixe incide sobre um cristal e é dispersado. Um detetor permite medir a intensidade do feixe de elétrons dispersados em função do ângulo  = 2, para valores diferentes do potencial acelerador V2, ou seja, para diferentes energias dos elétrons incidentes no cristal.

A Fig.17(a) representa um diagrama polar da distribuição da intensidade de um feixe de elétrons com energia de 60 eV, dispersado por um cristal de níquel. Pela figura se pode observar que a intensidade do feixe de elétrons dispersados tem um máximo para 2 = 50º ou = 25º.

A Fig.17(b) mostra os resultados de experimentos nos quais a intensidade foi medida para um dado ângulo q, mas com valores diferentes do potencial acelerador, ou seja, para feixes com diferentes energias. No eixo das abcissas se coloca a raiz quadrada do potencial acelerador para que os máximos e mínimos de intensidade fiquem mais ou menos a uma mesma distância uns dos outros. Os resultados apresentados nas duas figuras são típicos da distribuição de intensidades da dispersão de ondas. Máximos e mínimos de difração iguais a esses aparecem nos experimentos de difração de Bragg, onde raios x e raios g são espalhados pelos átomos que constituem um cristal.

No experimento de Davisson e Germer, os elétrons difratados são observados usando-se a mesma geometria dos experimentos de difração de Bragg com raios x e verifica-se que a corrente de elétrons registrada pelo detetor é máxima toda vez que é satisfeita a condição de Bragg obtida, originalmente, para os raios x. Portanto, a experiência de Davisson e Germer mostra, para os elétrons, um comportamento típico das ondas.

Relações de de Broglie

Para os fótons, a freqüência  e a energia E estão relacionadas pela expressão  = E / h, e o comprimento de onda  e a quantidade de movimento p, pela expressão  = h / p. Esta segunda expressão vem da primeira porque, para os fótons, valem, também, as relações E = pc e  n = c. Já que os elétrons, assim como os fótons, têm comportamento de onda e de partícula, é de se esperar que os elétrons, quando se comportam como ondas, tenham freqüências e comprimentos de onda dados pelas mesmas expressões:

 = E / h

e

 = h / p

Estas relações, quando aplicadas aos elétrons, se chamam relações de de Broglie. Na verdade, aplicam-se a quaisquer corpos, quer sejam microscópicos, quer sejam macroscópicos. Mas, para corpos macroscópicos, o comprimento de onda de de Broglie está além de qualquer possibilidade de observação ou medida. Por exemplo, para um corpo de massa 1 kg que se move com uma velocidade de módulo 1 m/s, tem-se:

 = 6,63 x 10-34> Js / [( 1 kg )( 1 m/s )] = 6,63 x 10-34> m

Não é possível observar o comportamento ondulatório de tal corpo, por exemplo, por interferência ou difração, já que não existe qualquer abertura ou obstáculo dessa ordem de grandeza. Os núcleos atômicos, que são os menores obstáculos que poderiam ser usados, têm diâmetros da ordem de 10-15> m.

Dualidade Onda-Partícula

Na física clássica, certos fenômenos são descritos em termos de um modelo ondulatório e outros, em termos de um modelo corpuscular. Por exemplo, o fenômeno de propagação do som em um gás é entendido em termos de um modelo ondulatório enquanto que o fenômeno de pressão do gás sobre qualquer superfície é entendido em termos de um modelo corpuscular (teoria cinética). Na física quântica, os dois modelos são necessários para descrever qualquer ente físico (partícula), embora não nas mesmas circunstâncias. Por exemplo, no caso da radiação eletromagnética, o fenômeno de polarização só pode ser entendido em termos de um modelo ondulatório enquanto que o efeito fotoelétrico e o efeito Compton só podem ser entendidos em termos de um modelo corpuscular, e no caso dos elétrons, os resultados do experimento de Davisson e Germer só podem ser entendidos em termos de um modelo ondulatório enquanto que os resultados do experimento de Thomson só podem ser entendidos em termos de um modelo corpuscular.

Os objetos são compostos de substâncias que se apresentam aos sentidos humanos numa grande variedade de formas, texturas, cores, etc., e parecem ter uma estrutura contínua. Na realidade, as substâncias são compostas de unidades distintas, agrupadas de muitas maneiras diferentes. As unidades básicas das substâncias são chamadas, convencionalmente, de partículas, o que não implica que não tenham nenhum tipo de estrutura interna. Por outro lado, como os objetos se apresentam aos sentidos humanos com tamanhos, formas e localizações definidos, existe a tendência de extrapolar tais propriedades inclusive às partículas fundamentais (prótons, nêutrons, elétrons, etc.). As experiências de física moderna não fundamentam essa extrapolação. Atualmente, o termo partícula é aplicado a entes físicos que têm propriedades como massa, carga elétrica, etc., que na física clássica são usualmente atribuídas ao que ali se chama de partícula, e propriedades como comprimento de onda e freqüência, que na física clássica são usualmente atribuídas ao que ali se chama de onda.

Existem quatro interações fundamentais, a gravitacional, a eletromagnética, a nuclear fraca e a nuclear forte, e a cada uma delas está associada uma certa propriedade chamada fonte: a massa é a fonte da interação gravitacional, a carga elétrica é a fonte da interação eletromagnética, a carga de cor, característica dos quarks, é a fonte da interação nuclear forte, e a carga fraca é a fonte da interação fraca. As leis fundamentais das interações são formuladas em termos de fontes pontuais e as forças entre dois ou mais corpos sempre podem ser reduzidas a resultantes de forças entre pares de fontes e é por isso que, quando uma partícula é detectada por algum tipo de interação, atua no sentido de ser localizada e deve, nesta circunstância, ser descrita em termos de um modelo corpuscular.

Por outro lado, quando se desloca no espaço, uma partícula pode experimentar interferência e se difratar ao passar através de fendas estreitas e, nestas circunstâncias, deve ser descrita em termos de um modelo ondulatório.

Princípio da Complementariedade

Segundo o princípio da complementariedade, o modelo ondulatório e o modelo corpuscular são complementares: se uma medida prova o caráter ondulatório de uma partícula, a mesma medida não pode provar seu caráter corpuscular, e vice-versa. A escolha do modelo a usar, se o modelo corpuscular ou o modelo ondulatório, é determinada pelo caráter da medida ou pelo tipo de experimento. Além disso, a compreensão da variedade de fenômenos onde toma parte uma dada partícula está incompleta a menos que se leve em conta tanto o seu caráter ondulatório quanto o seu caráter corpuscular.

A ligação entre os modelos ondulatório e corpuscular é realizada por meio de uma interpretação probabilística da dualidade onda-partícula. A intensidade I de uma onda é definida como a energia que flui por unidade de tempo através de uma superfície de área unitária perpendicular à direção de propagação. Para uma onda eletromagnética, por exemplo, se propagando na direção do eixo x, com os módulos dos campos elétrico e magnético dados por:

E = E0> cos [ k ( x – ct ) ]

e

B = B0> cos [ k ( x – ct ) ]

as densidades de energia associadas a esses campos são, respectivamente:

eE = ½ e0> E2

e

eB = ½ 0-1> B2

e como as amplitudes E0> e B0> estão relacionadas por E0> = cB0> e o módulo da velocidade de propagação é dado por c = [ 0> 0> ]1/2, segue-se que eB> = eE. Então, a densidade de energia total da onda eletromagnética pode ser escrita e = 0> E2> e a sua intensidade fica:

I = ce = c 0> E2

Assim, no modelo ondulatório, a intensidade da radiação eletromagnética é proporcional ao quadrado da amplitude E da onda. Aqui, bem entendido, E representa o vetor campo elétrico instantâneo, dado pela solução de uma equação de onda obtida das equações de Maxwell para o eletromagnetismo clássico.
No modelo corpuscular, a intensidade da radiação eletromagnética é escrita:

I = N h

onde N representa o número de fótons (com energia hn) que cruzam por unidade de tempo uma superfície de área unitária perpendicular à direção de propagação.

A ligação entre o modelo ondulatório e o modelo corpuscular se dá pela interpretação de E2> como uma medida do número de fótons por unidade de volume ou, em termos de um único fóton, como a probabilidade, por unidade de volume, de encontrar o fóton numa dada região do espaço num certo instante de tempo.

Isto que se discutiu para os fótons e a radiação eletromagnética vale também para as outras partículas como elétrons, prótons, etc.

O princípio da complementariedade estabelece que os fenômenos atômicos não podem ser descritos com a completude exigida pela dinâmica clássica: alguns elementos que se complementam para constituir uma descrição clássica completa são, realmente, mutuamente exclusivos, e esses elementos complementares são todos necessários para a descrição de todos os aspectos do fenômeno em questão.
Do ponto de vista do experimento, o princípio da complementariedade assegura que o aparato físico disponível para o sujeito humano experimentador tem propriedades tais que medidas mais precisas do que o que estabelece o princípio de incerteza de Heisenberg não podem ser feitas. E isso não pode ser imputado a deficiências do sujeito humano experimentador nem a deficiências do seu aparato físico de medida. É, antes, uma lei da Natureza.

Princípio de Incerteza de Heisenberg

Na física clássica está implícita a idéia de que qualquer grandeza de movimento de uma partícula pode ser medida e descrita de modo exato. Por exemplo, pode-se medir simultaneamente a posição e a velocidade de uma partícula sem perturbar o seu movimento.

De acordo com a física quântica, o ato de medir interfere na partícula e modifica o seu movimento. Para discutir esta afirmação, considere-se, como exemplo, a tarefa experimental de fotografar um elétron em órbita num átomo de hidrogênio. Da ótica sabe-se que, devido ao fenômeno de difração, dois pontos separados por uma distância D podem ser resolvidos, ou seja, observados como distintos, se esta observação for levada a cabo com radiação eletromagnética de comprimento de onda l menor ou da ordem da distância D. Como o raio da órbita do elétron no átomo de hidrogênio é da ordem de um angström (10-10m), para fotografá-lo é necessário, portanto, radiação eletromagnética com comprimento de onda  >> 10-10> m.

Tomando c = 3,00 x 108> m/s e h = 4,14 x 10-15> eVs e levando em conta as expressões > = c / > e E = h, segue-se que a radiação eletromagnética em questão deve ter uma energia:

E >> 1,24 x 104> eV

A energia de ligação do elétron no átomo de hidrogênio é da ordem de 10 eV. Bombardear esse elétron com radiação eletromagnética de energia da ordem de 104> eV para medir sua posição, portanto, perturba completamente sua velocidade. Quanto maior a precisão com que se quer determinar a posição do elétron, menor deve ser o comprimento de onda da radiação eletromagnética a ser empregada e maior a sua energia, de modo que será maior a perturbação na velocidade do elétron. Portanto, maior será a incerteza na velocidade medida para esse elétron. Este fato constitui um exemplo particular de aplicação do princípio de incerteza de Heisenberg.

Como segundo exemplo, considere-se a tarefa de determinar a coordenada x dos elétrons que se movem ao longo do eixo y (Fig.18), observando se eles passam ou não através de uma fenda de largura b. A incerteza x na medida de tal coordenada é dada pela largura da fenda:

x > b

Os elétrons, ao passar pela fenda, comportam-se como uma onda e, portanto, produzem o padrão de máximos e mínimos associado à difração. O movimento dos elétrons é, portanto, perturbado ao passar pela fenda, de modo que esta introduz uma incerteza pX> na componente x da quantidade de movimento dos elétrons. Esta componente é determinada pelo ângulo , correspondente ao máximo central do padrão de difração, já que é mais provável que a trajetória dos elétrons esteja contida no ângulo 2. Usando a expressão sen > = > / b, da teoria eletromagnética clássica, e a relação de de Broglie p = h / , vem:

pX> > pX>  p sen > = ( h /> )(> / b ) > h / x

ou

pX> x > h

Essa expressão mostra que o produto das incertezas x e pXé da ordem de grandeza da constante de Planck. E diminuindo-se uma das incertezas, a outra cresce na mesma proporção. Assim, por exemplo, um estreitamento da fenda (diminuição de b) para diminuir a incerteza na medida da coordenada x dos elétrons, acarreta um alargamento do máximo central do padrão de difração, ou seja, um aumento na incerteza da componente x da quantidade de movimento desses elétrons. Este fato constitui outro exemplo particular de aplicação do princípio de incerteza de Heisenberg. Pela mecânica clássica, a perturbação introduzida num sistema qualquer para medir a posição e a quantidade de movimento de cada partícula que o constitui pode ser tão pequena quanto se queira e, a partir daí, pode-se determinar exatamente o movimento subseqüente das partículas.

Pela mecânica quântica, é impossível tal descrição exata no caso de sistemas microscópicos, que envolvem pequenas distâncias e pequenas quantidades de movimento, já que, pelo princípio de incerteza, não se pode determinar simultaneamente, e com precisão arbitrária, a posição e a quantidade de movimento de cada partícula que constitui tais sistemas. Assim, o conceito de órbita, por exemplo, não pode ser mantido numa descrição quântica do átomo, e o que se pode calcular é apenas a probabilidade de encontrar um ou outro elétron numa dada região do espaço nas vizinhanças de um núcleo atômico. Tais distribuições de probabilidade constituem o que se chama de orbitais atômicos.

Modelo Atômico de Thomson

No final do século XIX, o elétron já estava estabelecido como partícula fundamental principalmente depois que, em 1897, J. J. Thomson determinou a sua razão carga/massa. E sabia-se que elétrons eram liberados por emissão termoiônica (de um metal a alta temperatura), no efeito fotoelétrico e no decaimento b de certos elementos radioativos. Evidentemente que os elétrons podiam ser considerados como constituintes básicos dos átomos.

No modelo de J. J. Thomson, proposto em 1904, o átomo era considerado como um tipo de fluido com uma distribuição esférica contínua de carga positiva onde se incrustavam um certo número de elétrons, com carga negativa, o suficiente para neutralizar a carga positiva (Fig.19). O modelo tinha como hipótese a existência de configurações estáveis para os elétrons ao redor das quais estes oscilariam. Contudo, segundo a teoria eletromagnética clássica, não pode existir qualquer configuração estável num sistema de partículas carregadas se a única interação entre elas é de caráter eletromagnético.

Além disso, como qualquer partícula com carga elétrica em movimento acelerado emite radiação eletromagnética, o modelo tinha como outra hipótese que os modos normais das oscilações dos elétrons deveriam ter as mesmas freqüências que aquelas que se observavam associadas às raias dos espectros atômicos. Mas não foi encontrada qualquer configuração para os elétrons de qualquer átomo cujos modos normais tivessem qualquer uma das freqüências esperadas. De qualquer modo, o modelo de Thomson foi abandonado principalmente devido aos resultados do experimento de Rutherford.

Experimento de Rutherford

Na época em que J. J. Thomson propôs seu modelo, H. Geiger e E. Marsden estudavam o espalhamento de feixes bem colimados de partículas a, que já se sabia serem núcleos de átomos de hélio (He++), por finas folhas de ouro, pelo que hoje se conhece como o experimento de Rutherford (Fig.20). Uma fonte radioativa emite partículas a que são colimadas, formando um feixe paralelo e estreito, que incide sobre uma folha metálica muito pouco espessa.

Para que fosse possível construir tal folha, a maleabilidade do metal deveria ser grande e, por isso, era usado normalmente o ouro. A folha é tão fina que as partículas a atravessam completamente com apenas uma pequena diminuição no módulo da velocidade. Ao atravessar a folha, entretanto, cada partícula a sofre muitos desvios devido a sua interação eletrostática com as cargas positivas e negativas dos átomos da folha. As partículas espalhadas eram detectadas por um microscópio com uma tela de sulfeto de zinco (ZnS). A tela de sulfeto de zinco cintila no local onde incide uma partícula .

O microscópio permite identificar a cintilação de cada partícula  individualmente. Os resultados experimentais de Geiger e Marsden mostraram que o número de partículas a que eram desviadas com ângulos de 90o ou maiores (Fig.21(a)) era muito maior que o esperado pelo modelo de Thomson (Fig.21(b)).

Em 1911, E. Rutherford mostrou que os dados de Geiger e Marsden eram consistentes com um modelo atômico em que a carga positiva do átomo se concentrava em uma pequena região que, além disso, continha praticamente toda a massa do átomo (Fig.21(a)). Os elétrons, por esse modelo nuclear, giravam ao redor dessa pequena região (chamada núcleo) como os planetas ao redor do Sol, só que governados pela interação eletrostática e não gravitacional. E pelas leis de Newton. Assim, tomando um referencial fixo no núcleo, para o elétron em uma órbita circular estável, a força centrípeta deve ser a força eletrostática:

mv2> / R = ( 1 / 40> )[ ( Ze ) e / R2> ]

ou:

v2> = Ze2> / 40mR

Qualquer órbita para a qual essa equação fosse satisfeita seria uma órbita estável. Esse modelo encontrava, contudo, um sério obstáculo para ser aceito. Segundo a teoria eletromagnética clássica de Maxwell, uma partícula carregada em movimento acelerado deveria emitir radiação eletromagnética e, através dela, perder energia. Como resultado dessa perda de energia, um elétron em órbita ao redor de um núcleo perderia gradativamente sua energia e sua órbita não poderia ser estável e sim, uma espiral que terminaria no núcleo. Além disso, durante seu movimento espiralado, que duraria no máximo 10-6 s, a velocidade angular do elétron cresceria continuamente e, com ela, cresceria, também, a freqüência da radiação emitida.

Modelo de Bohr

O modelo atômico de N. Bohr foi uma tentativa de aplicar as idéias de quantização de Planck e Einstein ao modelo nuclear de Rutherford. Para tanto, Bohr fez as seguintes hipóteses:

I. Os elétrons podem ocupar apenas certas órbitas especiais ao redor do núcleo, chamadas órbitas estacionárias.

II. O equilíbrio dinâmico do átomo nos estados estacionários (isto é, quando os elétrons ocupam órbitas estacionárias) é governado pelas leis de Newton.

III. O átomo pode passar de um estado estacionário a outro por emissão ou absorção de radiação eletromagnética com freqüência dada por:

 = E / h

onde E é a diferença de energia entre os estados estacionários e h, a constante de Planck.

A primeira suposição não tem qualquer justificativa a não ser o sucesso do modelo e aparece para evitar o dilema da emissão de radiação pelo elétron no seu movimento acelerado ao redor do núcleo. A segunda suposição não apresenta qualquer problema de aceitação e estipula, apesar das outras características estranhas do modelo, um comportamento clássico usual (newtoniano) para o elétron nas órbitas estacionárias. A terceira suposição é a mais estranha à física clássica porque não especifica o mecanismo de passagem do elétron de uma órbita estacionária para outra.
De acordo com o modelo de Bohr, o átomo de hidrogênio consiste de um núcleo relativamente pesado (o próton), com uma carga positiva e, e um elétron, de carga -e, numa órbita circular ao redor do núcleo. A equação de equilíbrio (com o referencial fixo no núcleo) continua sendo:

v2> = Ze2> / 40mR

com Z = 1. Tudo isso já estava contido no modelo de Rutherford. Contudo, Bohr introduziu a seguinte restrição, como novidade:

I’. As órbitas estacionárias são aquelas para as quais o momento angular do elétron ao redor do núcleo tem valores múltiplos inteiros de ( = h / 2p ):

L = ( h / 2 ) n ( n = 1, 2, 3, … )

Apoiados na segunda suposição podemos escrever, para o momento angular de uma partícula de massa m numa órbita circular de raio R ao redor do núcleo, L = mvR, e a restrição acima fica mvRn> = n, onde Rn é o raio da órbita correspondente ao (número quântico) inteiro n. Daí:

v2> = ( h / 2mRn> )2> n2

Comparando essa relação com aquela do modelo de Rutherford com Z = 1, temos:

Rn> = [ 0h2 / me2> ] n2> ( n = 1, 2, 3, … )

Segundo o modelo de Bohr, as únicas órbitas possíveis para o elétron que gira ao redor do núcleo (o próton) no átomo de hidrogênio são aquelas com raios dados por essa expressão (Fig.22). Cada inteiro n (chamado número quântico) identifica uma particular órbita (ou estado estacionário) do átomo de hidrogênio. A órbita mais próxima do núcleo corresponde a n = 1 e o seu raio é conhecido como raio de Bohr. Com os valores 0> = 8,85 x 10-12> F/m, h = 6,63 x 10-34> Js, e = 1,60 x 10-19> C e m = 9,11 x 10-31> kg, vem:

a0> = R1> = [ 0h2> / me2> ]  5,31 x 10-11 m  0,53 

Assim, pode-se escrever:

Rn> = ao> n2 ( n = 1, 2, 3, … )

Por outro lado, como a energia cinética K e a energia potencial U, esta com a convenção U = 0 para uma distância de separação entre as partículas carregadas infinita ( Rn ), são dadas por:

K = ½ mv2> = e2> / 80Rn

e

U = – e2> / 40Rn

a energia total do átomo de hidrogênio, num referencial fixo no núcleo, fica:

En> = – e2> / 80Rn

ou, levando em conta a expressão de Rn:

En> = – [e2> / 80a0> ] / n2

Agora, levando em conta a relação 1 J = 6,24 x 1018> eV e os valores numéricos dados acima para as constantes, vem:

E1> = [e2> / 80a0> ]  13,54 eV

e se pode escrever:

En> = – E1> / n2> ( n = 1, 2, 3, … )

Diagrama de Níveis de Energia

No modelo atômico de Bohr, sempre que um átomo de hidrogênio passa de um estado estacionário para outro, ele emite ou absorve radiação eletromagnética (ou um fóton) com freqüência:

 = DE / h

onde E representa o módulo da diferença EF – EI entre a energia do átomo no estado final EF> e a energia do átomo no estado inicial EI. Se EI> EF, um fóton com energia h é emitido pelo átomo e se EI< EF, um fóton com a mesma energia é absorvido.

O diagrama de níveis de energia é uma ajuda importante para a compreensão dos processos de emissão e de absorção de energia pelo átomo. Para o átomo de hidrogênio, o diagrama de níveis de energia é mostrado na Fig.23.

A dimensão vertical é usada para representar o valor da energia do estado estacionário. A cada estado estacionário se associa uma linha horizontal.

A separação entre duas linhas horizontais é proporcional a sua diferença de energia. A energia potencial eletrostática do átomo foi tomada como nula a uma separação infinita entre o elétron e o próton, de modo que os estados estacionários em que esse elétron e esse próton estão ligados com uma separação finita, constituindo um átomo de hidrogênio, têm energias negativas.

Como todos os estados estacionários do átomo de hidrogênio têm energias negativas, a linha superior do diagrama de níveis de energia representa o estado de energia zero ( n =  ), correspondente ao próton e o elétron separados de uma distância infinita, ou seja, correspondente ao átomo ionizado.

A linha inferior representa o estado de menor energia, isto é, o estado no qual o elétron ocupa a primeira órbita de Bohr ( n = 1, E1> = – 13,54 eV ). Esse estado é chamado estado fundamental do átomo de hidrogênio. Os estados estacionários correspondentes às energias E2, E3, E4> e E5> também estão representados. Os outros (infinitos) estados estacionários, cujas energias são maiores que E5> e menores que zero, não são mostrados.

Devido à forma desse diagrama, em que os estados estacionários são representados por linhas horizontais desenhadas em diferentes alturas conforme suas energias, isto é, em diferentes níveis horizontais, a expressão nível de energia se tornou sinônima da expressão energia de estado estacionário e, também, da expressão órbita estacionária.

Como níveis com n maiores têm maior energia, a transição de um estado de n maior para um estado de n menor vem acompanhada da emissão de um fóton, enquanto que a transição de um estado de n menor para um estado de n maior vem acompanhada da absorção de um fóton. É uma prática comum indicar as transições atômicas com flechas (verticais) no diagrama de níveis, do nível inicial ao final.

Espectros Atômicos

Um experimento típico para o registro do espectro atômico de emissão está esquematizado na Fig.24. A fonte de radiação eletromagnética consiste de uma ampola com um gás monoatômico rarefeito através do qual se produz uma descarga elétrica. Os átomos do gás que participam da descarga absorvem energia em colisões mútuas e com os elétrons que constituem a corrente elétrica e passam a um estado excitado. Esses átomos voltam ao seu estado original emitindo radiação eletromagnética. Esta radiação é colimada por uma fenda, atravessa um prisma onde as radiações monocromáticas são separadas para serem registradas numa chapa fotográfica. O registro fotográfico consiste de um conjunto discreto de raias, cada qual correspondendo à imagem da fenda colimadora para uma particular radiação monocromática.

O conjunto de raias ou o conjunto das radiações eletromagnéticas monocromáticas emitidas e suas correspondentes intensidades são características do tipo de átomo que constitui o gás rarefeito através do qual se dá a descarga elétrica e é o que se chama de espectro de emissão desse tipo de átomo.

Se o arranjo experimental representado na Fig.23 for modificado colocando-se como fonte de radiação eletromagnética uma fonte de espectro contínuo, como um sólido incandescente, e, entre essa fonte e o prisma, uma ampola com o gás monoatômico a ser estudado, a chapa fotográfica registra um conjunto discreto de raias escuras. Esse conjunto de raias escuras ou o conjunto das radiações monocromáticas que estão faltando no espectro contínuo original porque foram absorvidas pelo gás monoatômico é o que se chama de espectro de absorção do tipo de átomo que constitui tal gás.

Séries Espectroscópicas

Cada tipo de átomo tem um espectro que lhe é característico e quanto mais complexo o átomo, mais complicado é o seu espectro. Os comprimentos de onda correspondentes às radiações eletromagnéticas monocromáticas associadas às raias do espectro do hidrogênio, por exemplo, podem ser calculados pela fórmula:

1 /  = RH [ 1 / n12 – 1 / n22 ]

onde n1 e n2 são números inteiros positivos com n2> > n1> e RH, a constante de Rydberg para o hidrogênio:

RH> = 1,097 x 107> m-1

Se n1> = 1 e n2> = 2, 3, 4, … as correspondentes raias constituem a série de Lyman e as correspondentes radiações se situam na parte do violeta do espectro eletromagnético. Se n1> = 2 e n2> = 3, 4, 5, … as correspondentes raias constituem a série de Balmer e as correspondentes radiações se situam na parte do visível e do ultravioleta próximo do espectro eletromagnético. Etc.

Os comprimentos de onda correspondentes às radiações eletromagnéticas monocromáticas associadas às raias do espectro de qualquer outro tipo de átomo podem ser calculados pela mesma fórmula, desde que se tome o valor da constante de Rydberg apropriado ao tipo de átomo em questão.

O modelo atômico de Bohr explica a fórmula acima. Segundo esse modelo, quando o elétron do átomo de hidrogênio passa do estado estacionário caracterizado pelo número quântico n2> para o estado estacionário caracterizado pelo número quântico n1, com n2> n1, existe a emissão de radiação eletromagnética cuja freqüência é dada por:

n = ( En2> – En1> ) / h

Como n = c e, pelo modelo de Bohr:

En = – e2 / 80Rn

e

Rn> = [ 0h2> / me2> ] n2

vem:

1 / = n / c = ( En2> – En1> ) / hc = ( me4> / 802h3c ) [ 1 / n12> – 1 / n22> ]

A constante de Rydberg para o hidrogênio, portanto, é dada pela expressão:

RH> = ( me4> / 802h3c )

Com os valores m = 9,11 x 10-31> kg, e = 1,60 x 10-19> C, 0> = 8,85 x10-12> F/m, h = 6,63 x 10 Js e c = 3,00 x 108> m/s, segue-se que:

RH> = 1,09 x 107> m-1

confirmando o valor dado acima (até a segunda casa decimal).

Sólidos Cristalinos

As substâncias se apresentam, normalmente, nos estados sólido, líquido ou gasoso. Para uma substância no estado gasoso, a distância média de separação entre as partículas (moléculas ou átomos) é grande comparada aos seus diâmetros, de modo que a interação entre elas pode ser ignorada. Contudo, a temperaturas e pressões usuais, muitas substâncias estão nos estados líquido e sólido e a interação entre as correspondentes partículas não pode mais ser ignorada. Nestes casos, a distância de separação entre as partículas é da ordem de grandeza dos seus diâmetros e a intensidade das forças que as mantêm juntas é da ordem de grandeza da intensidade das forças que ligam os átomos para formar moléculas. Nos sólidos, os átomos (ou moléculas) podem ou não existir como entidades isoladas mas, de qualquer modo, suas propriedades são modificadas pelos átomos (ou moléculas) das proximidades. Por exemplo, os níveis de energia dos elétrons mais exteriores de um átomo (ou de uma molécula) são distorcidos pelos átomos (ou moléculas) da vizinhança.

Nos sólidos cristalinos, os átomos (ou moléculas) ocupam posições regularmente distribuídas no espaço, constituindo uma rede regular chamada rede cristalina. A configuração regular pode alcançar distâncias muito grandes. Nos sólidos não cristalinos (amorfos), como o concreto, o asfalto, o vidro, a cera e o plástico, a configuração regular prevalece apenas nas vizinhanças dos átomos ou moléculas individuais e, sobre distâncias maiores, prevalece a desordem.

Uma base para classificar os sólidos cristalinos é a natureza das forças que mantém unidos os átomos (ou moléculas) no ordenamento da rede cristalina. A energia de coesão dos átomos (ou moléculas) num cristal depende das forças de ligação dominantes entre esses átomos (ou moléculas). O mesmo esquema de classificação que é apropriado às ligações moleculares é também útil para os sólidos. Entretanto, uma nova categoria é necessária, a ligação metálica. Esse mecanismo, efetivo para a ligação de átomos em metais como o sódio, o cobre, a prata e outros, nas fases sólida e líquida, não produz complexos moleculares na fase gasosa. Os sólidos cristalinos podem ser iônicos, covalentes, moleculares ou metálicos.

Nos sólidos iônicos, a rede está formada por íons alternadamente positivos e negativos, resultantes da transferência de um elétron (ou mais) de um tipo de átomo para o outro. A estabilidade da rede cristalina é mantida pela atração eletrostática entre os íons presentes, tais como os íons Na +> e Cl -> na molécula NaCl (cloreto de sódio, o sal de cozinha comum (Fig.25)) e os íons Li +> e F -> na molécula LiF (fluoreto de lítio). Como esses sólidos não têm elétrons livres, a sua condutividade elétrica é muito baixa (são isolantes). Mas, se uma quantidade apropriada de energia é fornecida a um sólido iônico de modo que ele se transforme num líquido, ele se torna um bom condutor de eletricidade. Os sólidos iônicos são geralmente duros, frágeis e têm um elevado ponto de fusão devido às forças eletrostáticas relativamente intensas entre os íons. Alguns cristais iônicos absorvem radiação eletromagnética com comprimentos de onda na região dos maiores comprimentos de onda do infravermelho, já que a energia necessária para produzir vibrações na rede cristalina é menor que cerca de 1 eV. A energia para produzir tais vibrações é, em geral, mais baixa para os cristais iônicos do que para os covalentes, em virtude da energia de ligação ser relativamente mais baixa.

Nos sólidos covalentes não existe transferência de carga entre os átomos para formar íons, como no caso dos cristais iônicos, mas um compartilhamento de pares de elétrons de valência entre os átomos. A estrutura cristalina de um sólido covalente fica definida pela direcionalidade da ligação covalente. Por exemplo, os átomos tetravalentes do carbono, germânio e silício formam ligações covalentes nas combinações moleculares. Cada um desses átomos tem quatro elétrons na camada eletrônica mais externa, ou seja, tem quatro elétrons de valência, cujos orbitais são orbitais híbridos s-p3. No sólido cristalino correspondente, cada átomo forma ligações covalentes com os quatro átomos mais próximos, ficando no centro de um tetraedro regular, com quatro átomos semelhantes nos vértices (Fig.26). Assim, quatro ligações covalentes idênticas podem ser formadas, com cada átomo contribuindo com um elétron a cada uma dessas ligações. Nesse tipo de estrutura, organizada por ligações covalentes, cada elétron está fortemente ligado, de modo que não existem elétrons livres para participar de qualquer processo de condução e os sólidos covalentes têm uma condutividade elétrica muito baixa (são isolantes). Além disso, são extremamente duros e difíceis de deformar. Por outro lado, são necessárias energias relativamente altas, da ordem de alguns elétron-volts, para produzir vibrações na rede cristalina, e como as energias dos fótons associados à região do visível no espectro eletromagnético estão entre 1,8 e 3,1 eV, muitos sólidos covalentes são incolores (transparentes).

Nos sólidos moleculares constituídos por moléculas apolares, os elétrons se encontram emparelhados e não podem formar ligações covalentes. As moléculas conservam a sua individualidade mas estão ligadas pelas forças de Van der Waals, as mesmas que existem entre as moléculas de um gás ou de um líquido. As forças de Van der Waals são bastante fracas e são derivadas da interação entre dipolos elétricos. Pelo movimento dos elétrons ao redor dos núcleos numa molécula apolar pode acontecer que, por um breve instante, a distribuição de carga seja tal que parte da molécula fique positiva e parte negativa. Enquanto está polarizada, esta molécula induz em outra molécula de sua vizinhança uma distribuição de carga semelhante e as duas se atraem. No instante seguinte, as moléculas voltam às configurações originais e não mais se atraem. Isto se repete aleatoriamente com todos os pares de moléculas do sólido. Os gases nobres, gases comuns como o oxigênio e o hidrogênio e muitos compostos orgânicos formam sólidos moleculares desse tipo. Em alguns sólidos moleculares as moléculas são polares, como no caso do gelo, por exemplo. As moléculas de água são polares porque, em cada uma delas, o átomo de oxigênio atrai mais para perto de si os elétrons que constituem as ligações covalentes com os átomos de hidrogênio. Então, a parte de uma molécula correspondente ao átomo de oxigênio é negativa e as partes correspondentes aos átomos de hidrogênio, positivas. A ligação entre as moléculas, chamada ligação hidrogênica, se dá pela atração eletrostática entre a parte negativa de uma molécula e a positiva de outra. Os sólidos moleculares têm uma condutividade elétrica muito baixa (são isolantes).

Um sólido metálico é formado a partir de átomos com alguns elétrons fracamente ligados nas camadas mais externas, elétrons esses que passam a se mover por todo o sólido quando de sua formação. Assim, um sólido metálico é constituído por uma rede ordenada de íons positivos que são mantidos juntos por uma espécie de gás de elétrons livres. A mobilidade dos elétrons de valência que constituem esse gás de elétrons livres é que torna os metais bons condutores de eletricidade.

Bandas de Energia

Um átomo qualquer pode ser pensado como constituído pelos elétrons mais externos (de valência) ligados mais ou menos fracamente ao íon positivo correspondente ao átomo considerado sem esses elétrons. Quando um grande número de átomos se agrupam para formar um sólido macroscópico, os elétrons de valência, perturbados pelos átomos vizinhos, se tornam mais ou menos livres para se mover pelo sólido inteiro. Se os níveis de energia são bem espaçados num átomo isolado, no sólido, esses níveis passam a formar bandas de energia, isto é, conjuntos de um número muito grande de níveis de energia muito pouco espaçados.

E se o princípio de exclusão de Pauli limita o número de elétrons que podem ocupar certo nível de energia num átomo isolado, da mesma forma ele limita o número de elétrons que podem ocupar cada banda de energia no sólido macroscópico. Entre uma banda e outra não existem níveis de energia possíveis de serem preenchidos pelos elétrons e se diz que aí existe uma banda proibida.

Como os níveis atômicos s e p podem conter, respectivamente, 2 e 6 elétrons, num sólido macroscópico constituído de N átomos, as correspondentes bandas de energia s e p podem conter, respectivamente, até 2N e 6N elétrons. O átomo de sódio, por exemplo, tem a configuração eletrônica 1s2> 2s2> 2p6> 3s1, de modo que as bandas 1s, 2s e 2p estão completas, ou seja, existem, respectivamente, 2N, 2N e 6N elétrons ocupando todos os seus níveis de energia.

De acordo com o princípio de exclusão de Pauli, não é possível que outros elétrons ocupem qualquer estado dessas bandas. A banda mais elevada, a 3s, está apenas com metade de seus níveis de energia preenchidos. Como os elétrons que preenchem esses níveis, e que formam a ligação metálica, são os correspondentes elétrons de valência nos átomos isolados, esta banda é chamada banda de valência. Na verdade, a situação do sódio é um pouco mais complicada porque a banda superior 3p, completamente vazia, se superpõe à banda 3s (Fig.27). Se a temperatura do sólido é T = 0 K, os N elétrons da banda 3s ocupam os seus níveis mais baixos.

Se T 0 K, existem níveis superiores ocupados por elétrons excitados por frações da energia interna do sólido macroscópico e níveis inferiores, de onde provieram tais elétrons, desocupados. Quanto maior a temperatura, mais níveis superiores estarão ocupados e mais níveis inferiores, desocupados. Se o sólido em questão é colocado numa região de campo elétrico, mesmo que relativamente pouco intenso, os elétrons desta banda podem ser acelerados e, portanto, absorver energia e ocupar níveis de energia vazios mais altos. Estes elétrons são, portanto, elétrons de condução, ou seja, elétrons que constituem a corrente elétrica. Esta banda é, então, também chamada banda de condução e o sólido é condutor de eletricidade.

O cloreto de sódio (NaCl) é um isolante para campos elétricos não muito intensos. O número atômico do cloro é 17 e sua configuração eletrônica é 1s2 2s2 2p6 3s2 3p5. O átomo de sódio tem a configuração eletrônica 1s2 2s2 2p6 3s1. O sólido macroscópico de NaCl é formado pelos íons Na+ e Cl- . Quando se formam tais íons, a energia do nível 3s do sódio fica mais alta porque o átomo tem que absorver energia para liberar o elétron 3s1 e a energia do nível 3p do cloro fica mais baixa porque o átomo libera energia ao absorver tal elétron.

Se a temperatura do sólido macroscópico constituído de N moléculas de NaCl é T = 0 K, ele tem uma banda 3p cujos 6N níveis de energia estão completamente preenchidos pelos 5N elétrons do cloro e N elétrons do sódio e uma banda superior 3s cujos níveis de energia estão completamente vazios, e se a temperatura do sólido em questão é a temperatura ambiente, como kT 0,026 eV para T = 300 K, pode existir um número muito pequeno de elétrons excitados da banda 3p para a banda 3s por frações da energia interna do sólido. Então, como a lacuna de energia (banda proibida) entre as duas bandas é de cerca de 10 eV, e como um campo elétrico não muito intenso aplicado a uma amostra de NaCl não é suficiente para excitar elétrons da banda 3p para a banda 3s, apenas os muito poucos elétrons que já estão na banda 3s podem ser acelerados por efeito desse campo e esses não chegam a constituir uma corrente elétrica. Assim, o NaCl é um isolante à temperatura ambiente.

Semicondutores Intrínsecos

Semicondutores são substâncias cuja condutividade elétrica, ao contrário do que ocorre com os condutores normais, aumenta com a temperatura. Assim, são condutores nas temperaturas usuais e isolantes nas baixas temperaturas. Além do germânio, do silício e de alguns outros elementos, são semicondutores uma grande quantidade de substâncias entre as quais se destacam os compostos binários constituídos por átomos de grupos diferentes da tabela periódica como, por exemplo, GaAs, AlSb e InSb.

Semicondutores intrínsecos são substâncias puras, sem qualquer tipo de impureza, e que, a T = 0 K, têm uma banda proibida de largura menor que 3 eV entre a banda de valência, com todos os níveis ocupados, e a banda de condução, com todos os níveis desocupados. Nessa temperatura, comportam-se como isolantes. O silício e o germânio, por exemplo, são semicondutores intrínsecos com uma banda proibida de 1,1 eV e 0,7 eV, respectivamente. Para T 0 K, existem níveis de energia na banda de condução ocupados por elétrons excitados por frações da energia interna e níveis de energia na banda de valência, de onde provieram esses elétrons, desocupados. Quanto maior a temperatura, mais níveis na banda de condução estão ocupados e mais níveis na banda de valência estão desocupados. Na presença de um campo elétrico, a corrente elétrica resultante tem uma contribuição devida aos elétrons da banda de condução e outra, devida aos elétrons da banda de valência. Para cada elétron na banda de condução existe um nível de energia vazio (uma lacuna) na banda de valência, de modo que, sob o efeito do campo elétrico, os elétrons dessa banda podem ser excitados para níveis de energia vazios dela mesma, deixando os níveis de energia originais vazios. Esta contribuição para a corrente elétrica pode ser descrita como o movimento das lacunas no sentido do campo elétrico (e no sentido contrário ao dos elétrons). As lacunas atuam, assim, como se tivessem carga elétrica positiva. Como a largura da banda proibida é pequena nos semicondutores, o aumento da condutividade devido ao aumento da temperatura é muito maior do que nos isolantes usuais.

Semicondutores Extrínsecos

A condutividade de um material semicondutor pode ser aumentada por diversas ordens de grandeza pela adição de quantidades muito pequenas de certas substâncias chamadas impurezas. Esse procedimento é chamado dopagem e os semicondutores resultantes são chamados de semicondutores extrínsecos. E conforme o tipo de dopagem, esses semicondutores podem ser do tipo n e do tipo p.

Um átomo de silício tem a configuração eletrônica 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2, e um átomo de germânio tem a configuração eletrônica 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p2, ou seja, ambos têm quatro elétrons de valência. Num sólido macroscópico puro, cada átomo fica ligado a outros quatro por ligações covalentes. Um átomo de arsênio, cuja configuração eletrônica é 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p3, tem cinco elétrons de valência. Se uma amostra de silício (ou de germânio) é dopada com um pequeno teor de arsênio, de maneira que alguns átomos de arsênio substituem alguns átomos de silício (ou de germânio) na rede cristalina, quatro elétrons de valência de cada átomo de arsênio participam de ligações covalentes com os quatro átomos de silício (ou de germânio) vizinhos enquanto que o quinto elétron de valência fica apenas levemente ligado ao seu átomo original e ocupa, assim, algum nível de energia um pouco abaixo da banda de condução do sólido (Fig.28(a)). Estes níveis de energia são chamados níveis doadores, já que os elétrons que os ocupam podem ser facilmente excitados para níveis da banda de condução por frações da energia interna do sólido. O semicondutor extrínseco em questão é chamado semicondutor tipo n (n de negativo, por causa do sinal dos portadores de corrente elétrica). Além do arsênio, podem atuar como impurezas doadoras outros átomos de elementos do grupo V da tabela periódica, que têm cinco elétrons de valência.

Um átomo de gálio, cuja configuração eletrônica é 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p1, tem três elétrons de valência. Se uma amostra de silício (ou de germânio) é dopada com um pequeno teor de gálio, os três elétrons de valência de cada átomo de gálio participam de ligações covalentes com três dos quatro átomos de silício (ou de germânio) vizinhos. Correspondentemente ao quarto elétron de valência de cada átomo de silício (ou de germânio) existem níveis de energia um pouco acima da banda de valência (Fig.28(b)). Como os átomos de silício (ou de germânio) nessa situação aceitam elétrons da banda de valência excitados por frações da energia interna do sólido para completar a quarta ligação covalente, de modo que existem lacunas nessa banda, esses níveis são chamados níveis aceitadores, e o semicondutor extrínseco em questão é chamado semicondutor tipo p (p de positivo, por causa sinal dos portadores de corrente elétrica). Além do gálio, podem ser impurezas receptoras outros átomos de elementos do grupo III da tabela periódica, que têm três elétrons de valência.

Luminescência e Fosforescência

De um modo geral, quando os elétrons de um sólido são excitados por absorção de radiação eletromagnética ou por outro processo qualquer, eles não permanecem por muito tempo nos respectivos níveis mais altos, decaindo por vários processos competitivos. Se o processo de decaimento mais provável envolve a emissão de radiação eletromagnética na região visível do espectro, dizemos que existe luminescência. Nos sólidos, a luminescência está ligada às impurezas e aos defeitos da estrutura cristalina. Quando um elétron da banda de valência é transferido para a banda de condução, deixa naquela uma lacuna, ou seja, um nível incompleto (Fig.29(a)). Se a estrutura cristalina do sólido em questão não contém defeitos nem impurezas, o elétron volta à banda de valência com a emissão de radiação eletromagnética com uma energia muito alta para ficar na região visível do espectro. Se a rede contiver algumas impurezas que originem níveis de energia entre as bandas de valência e de condução, um elétron de um nível de energia de impureza inferior pode preencher a lacuna na banda de valência e um elétron da banda de condução pode preencher um dos níveis de energia de impureza superiores (Fig.29(b)), com a emissão, nos dois casos, de radiação eletromagnética com energia muito baixa para ficar na região visível do espectro. Um elétron pode passar de um nível de energia de impureza superior para um nível de energia de impureza inferior que esteja vazio, com a emissão de radiação eletromagnética com energia que a situe na região visível do espectro, e isso é o que constitui a luminescência (Fig.29(c)).

Em certos casos, em vez de passar pelo processo ilustrado na Fig.29(b), o elétron da banda de condução pode passar para um nível de energia chamado armadilha (Fig.30), do qual ele não pode passar ao nível de energia de impureza mais baixo por uma transição radioativa sem violar um ou outro princípio de conservação. O elétron se encontra, então, num estado metaestável, e permanece nesse estado por um tempo que pode ser de muitos segundos (muito grande para a escala atômica), até que algum processo o faça regressar à banda de condução. Então, ele pode passar pelas etapas descritas acima. O processo como um todo se chama fosforescência porque o sólido permanece brilhando muitos segundos após o término da excitação. Um exemplo de substância onde ocorre fosforescência é o sulfato de zinco. Substâncias fosforescentes são usados em tubos de televisão e em detetores de partículas elementares.

Fonte: www.ufsm.br